Номер 232, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

232. На рисунке 17 изображён график функции $y = g (x)$, определённой на промежутке $[-4; 4]$. Пользуясь графиком, найдите:

1) $f (-4)$; $f (-1)$; $f (1)$; $f (2,5)$;

2) значения $x$, при которых: $f (x) = -1$; $f (x) = 0$; $f (x) = 2$;

3) область значений функции.

Рис. 17

1) Для того чтобы найти значение функции в точке по её графику, необходимо найти на оси абсцисс (ось $x$) заданное значение аргумента, затем найти точку на графике с этой абсциссой и определить её ординату (значение по оси $y$).

• Найдём $f(-4)$. На оси $x$ находим значение $-4$. Соответствующая точка на графике имеет ординату $0.5$. Значит, $f(-4) = 0.5$.

• Найдём $f(-1)$. На оси $x$ находим значение $-1$. Соответствующая точка на графике имеет ординату $2$. Значит, $f(-1) = 2$.

• Найдём $f(1)$. На оси $x$ находим значение $1$. Соответствующая точка на графике имеет ординату $2$. Значит, $f(1) = 2$.

• Найдём $f(2.5)$. На оси $x$ находим значение $2.5$. Соответствующая точка на графике имеет ординату $-0.5$. Значит, $f(2.5) = -0.5$.

Ответ: $f(-4) = 0.5$; $f(-1) = 2$; $f(1) = 2$; $f(2.5) = -0.5$.

2) Для того чтобы найти значения $x$, при которых функция принимает заданное значение $y$, необходимо провести горизонтальную прямую на уровне этого значения $y$ и найти абсциссы всех точек пересечения этой прямой с графиком функции.

• Найдём $x$, при которых $f(x) = -1$. Проводим прямую $y = -1$. Эта прямая пересекает график в точках с абсциссами $x = -2$ и $x = 2$.

• Найдём $x$, при которых $f(x) = 0$. Это точки пересечения графика с осью абсцисс. График пересекает ось $x$ в точках с абсциссами $x = -3$, $x = -1.5$, $x = 1.5$ и $x = 3$.

• Найдём $x$, при которых $f(x) = 2$. Проводим прямую $y = 2$. Эта прямая пересекает график в точках с абсциссами $x = -1$ и $x = 1$.

Ответ: при $f(x) = -1$, $x \in \{-2, 2\}$; при $f(x) = 0$, $x \in \{-3, -1.5, 1.5, 3\}$; при $f(x) = 2$, $x \in \{-1, 1\}$.

3) Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает функция (переменная $y$) на своей области определения. Чтобы найти её по графику, нужно определить наименьшее и наибольшее значение, которое достигает функция.

По графику видно, что самая низкая точка имеет ординату $y = -1$, а самая высокая точка имеет ординату $y = 3$.

Так как функция непрерывна на промежутке $[-4, 4]$, она принимает все значения между своим наименьшим и наибольшим значением.

Следовательно, область значений функции — это отрезок от $-1$ до $3$.

Ответ: $E(f) = [-1; 3]$.