Номер 226, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

226. Функция задана формулой $f(x) = -2x^2 + 5x$.

1) Найдите: $f(1)$; $f(0)$; $f\left(\frac{1}{2}\right)$; $f(-5)$.

2) Найдите значения аргумента, при которых значение функции равно: 0; 2; -3.

3) Верно ли равенство: а) $f(-1) = 7$; б) $f(4) = -12$?

Дана функция $f(x) = -2x^2 + 5x$.

1) Найдите: $f(1); f(0); f(\frac{1}{2}); f(-5)$

Чтобы найти значение функции при заданном значении аргумента, подставляем это значение вместо $x$ в формулу функции.

• $f(1) = -2 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 = -2 \cdot 1 + 5 = -2 + 5 = 3$
• $f(0) = -2 \cdot 0^2 + 5 \cdot 0 = 0 + 0 = 0$
• $f(\frac{1}{2}) = -2 \cdot (\frac{1}{2})^2 + 5 \cdot \frac{1}{2} = -2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{5}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2} = \frac{4}{2} = 2$
• $f(-5) = -2 \cdot (-5)^2 + 5 \cdot (-5) = -2 \cdot 25 - 25 = -50 - 25 = -75$

Ответ: $f(1) = 3$; $f(0) = 0$; $f(\frac{1}{2}) = 2$; $f(-5) = -75$.

2) Найдите значения аргумента, при которых значение функции равно: 0; 2; -3

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых функция $f(x)$ принимает заданное значение, нужно решить уравнение $f(x) = k$, где $k$ — заданное значение.

При $f(x) = 0$:
$-2x^2 + 5x = 0$
Выносим $x$ за скобки: $x(-2x + 5) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $-2x + 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x_2 = \frac{5}{2} = 2.5$.

При $f(x) = 2$:
$-2x^2 + 5x = 2$
Приводим к стандартному виду квадратного уравнения: $2x^2 - 5x + 2 = 0$.
Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Находим корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}$.
$x_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
$x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$.

При $f(x) = -3$:
$-2x^2 + 5x = -3$
Приводим к стандартному виду: $2x^2 - 5x - 3 = 0$.
Находим дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.
Находим корни: $x = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4}$.
$x_1 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
$x_2 = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} = -0.5$.

Ответ: значение функции равно 0 при $x=0$ и $x=2.5$; значение равно 2 при $x=0.5$ и $x=2$; значение равно -3 при $x=-0.5$ и $x=3$.

3) Верно ли равенство: а) $f(-1) = 7$; б) $f(4) = -12$?

Чтобы проверить верность равенства, вычислим значение функции в указанной точке и сравним с предложенным значением.

а) $f(-1) = 7$

Вычисляем значение $f(-1)$:
$f(-1) = -2(-1)^2 + 5(-1) = -2(1) - 5 = -2 - 5 = -7$.
Полученное значение $-7$ не равно $7$.

Ответ: неверно.

б) $f(4) = -12$

Вычисляем значение $f(4)$:
$f(4) = -2(4)^2 + 5(4) = -2(16) + 20 = -32 + 20 = -12$.
Полученное значение $-12$ совпадает со значением в равенстве.

Ответ: верно.