Номер 9, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

9. Что считают областью определения функции, если она задана формулой и при этом не указана область определения?

Если функция задана аналитически, то есть с помощью формулы (например, $y=f(x)$), и при этом ее область определения не указана в условии, то по соглашению считается, что область определения функции состоит из всех тех значений переменной $x$, при которых выражение (формула) $f(x)$ имеет смысл. Такую область определения называют естественной областью определения.

Выражение "имеет смысл" означает, что для данных значений $x$ можно выполнить все математические операции, указанные в формуле, и в результате получить действительное число. Нахождение естественной области определения сводится к поиску всех значений $x$, для которых выражение $f(x)$ не определено, и исключению этих значений из множества всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

Основные математические операции, которые накладывают ограничения на область определения:

1. Деление. Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
Пример. Для функции $f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$, знаменатель $x^2 - 4$ не должен быть равен нулю. Решаем уравнение $x^2 - 4 = 0$, получаем $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Эти значения нужно исключить. Область определения: $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Извлечение корня четной степени. Выражение, стоящее под знаком корня четной степени (например, квадратного $\sqrt{\dots}$), должно быть неотрицательным.
Пример. Для функции $g(x) = \sqrt{5 - x}$, подкоренное выражение $5 - x$ должно быть неотрицательно: $5 - x \ge 0$. Отсюда $x \le 5$. Область определения: $D(g) = (-\infty; 5]$.

3. Логарифмы. Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть строго положительным.
Пример. Для функции $h(x) = \log_2(x + 3)$, выражение $x + 3$ должно быть строго положительным: $x + 3 > 0$. Отсюда $x > -3$. Область определения: $D(h) = (-3; +\infty)$.

Если функция содержит комбинацию этих операций, то ее область определения — это пересечение областей определения для каждой части выражения.

Сложный пример. Найти область определения функции $y = \frac{\sqrt{x+1}}{\ln(x)}$.
Здесь есть три ограничения:
1) Из-за корня: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
2) Из-за логарифма: $x > 0$.
3) Из-за знаменателя: $\ln(x) \neq 0$. Так как $\ln(x) = 0$ при $x=1$, то $x \neq 1$.
Нужно, чтобы все три условия выполнялись одновременно: $x \ge -1$, $x > 0$ и $x \neq 1$. Пересечением этих условий является множество $(0; 1) \cup (1; +\infty)$. Это и есть область определения.

Ответ: Областью определения функции, заданной формулой без указания конкретной области определения, считается множество всех значений аргумента, при которых данная формула имеет смысл (т.е. выполнимы все входящие в неё математические операции в множестве действительных чисел).