Номер 4, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Что называют областью определения функции?

Областью определения функции (или множеством определения функции) называют множество всех допустимых значений независимой переменной $x$ (аргумента), при которых функция $y = f(x)$ определена, то есть её значение можно вычислить.

Иными словами, это все те значения $x$, которые можно подставить в формулу функции, чтобы получить осмысленный математический результат. Область определения функции обычно обозначается как $D(f)$ или $D(y)$.

При нахождении области определения функции, которая задана формулой, необходимо найти и исключить все значения аргумента, при которых выполняются недопустимые математические операции. Основные ограничения, которые следует учитывать:

• Деление на ноль: Если функция содержит дробь вида $y = \frac{f(x)}{g(x)}$, то её знаменатель не может быть равен нулю. Следовательно, необходимо решить условие $g(x) \neq 0$.
• Извлечение корня чётной степени: Если функция содержит корень чётной степени, например, квадратный корень $y = \sqrt{f(x)}$, то выражение под корнем должно быть неотрицательным. Для этого решается неравенство $f(x) \ge 0$.
• Логарифмические функции: Если функция содержит логарифм вида $y = \log_a(f(x))$, то выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. Для этого решается неравенство $f(x) > 0$. (Основание логарифма $a$ также должно удовлетворять условиям $a > 0$ и $a \neq 1$).
• Тригонометрические функции с ограничениями: Например, для тангенса $y = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ и секанса $y = \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$, знаменатель $\cos(x)$ не должен быть равен нулю, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Для котангенса $y = \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ и косеканса $y = \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}$, знаменатель $\sin(x)$ не должен быть равен нулю, то есть $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Примеры нахождения области определения:

1. Функция $y = \frac{x+1}{x-3}$.

   В знаменателе дроби стоит выражение $x-3$, которое не должно равняться нулю.
   $x-3 \neq 0$
   $x \neq 3$
   Область определения: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Функция $y = \sqrt{2x+8}$.

   Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
   $2x+8 \ge 0$
   $2x \ge -8$
   $x \ge -4$
   Область определения: $D(y) = [-4; +\infty)$.

3. Функция $y = \frac{\log_5(x)}{\sqrt{10-x}}$.

   Здесь необходимо выполнение двух условий одновременно (система):

   1) Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.

   2) Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным (неотрицательным из-за корня и не равным нулю из-за знаменателя): $10-x > 0 \implies -x > -10 \implies x < 10$.

   Объединяя оба условия в систему $\begin{cases} x > 0 \\ x < 10 \end{cases}$, получаем общее решение $0 < x < 10$.
   Область определения: $D(y) = (0; 10)$.

Ответ: Областью определения функции называется множество всех значений независимой переменной (аргумента), для каждого из которых функция принимает определённое, конечное значение.