Номер 1, страница 56 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что такое функция?

Определение

В математике функция (или отображение) — это правило, по которому каждому элементу $x$ из одного множества (называемого областью определения) ставится в соответствие единственный элемент $y$ из другого множества (называемого областью значений). Иными словами, функция — это зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной соответствует ровно одно значение зависимой переменной.

Обычно функцию обозначают буквой $f$, а саму зависимость записывают в виде формулы $y = f(x)$.

Ключевые понятия

Для понимания концепции функции важно знать следующие термины:

• Аргумент (или независимая переменная) — это входное значение для функции, которое мы выбираем сами. В записи $y = f(x)$ аргументом является $x$.
• Значение функции (или зависимая переменная) — это выходное значение, которое получается в результате применения функции к аргументу. В записи $y = f(x)$ значением функции является $y$.
• Область определения функции ($D(f)$ или $D(y)$) — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, для которых функция имеет смысл (т.е. для которых можно выполнить все операции, указанные в правиле). Например, для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ в область определения не входит число $0$, так как на ноль делить нельзя.
• Область значений функции ($E(f)$ или $E(y)$) — это множество всех значений $y$, которые принимает функция, когда аргумент $x$ пробегает всю область определения.

Пример

Рассмотрим функцию, заданную формулой $f(x) = x^2$.

• Правило: взять число ($x$) и возвести его в квадрат, чтобы получить результат ($y$).
• Аргумент ($x$): любое действительное число. Например, если мы выберем $x = 3$, то значение функции будет $f(3) = 3^2 = 9$. Если $x = -2$, то $f(-2) = (-2)^2 = 4$.
• Важное свойство: каждому значению $x$ соответствует только одно значение $y$. Например, для $x=3$ мы получаем только $y=9$, а не какое-либо другое число.
• Область определения $D(f)$ для $f(x) = x^2$: все действительные числа, так как любое число можно возвести в квадрат. Записывается как $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Область значений $E(f)$ для $f(x) = x^2$: все неотрицательные действительные числа, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным. Записывается как $y \in [0; +\infty)$.

Способы задания функции

Существует несколько основных способов, которыми можно определить (задать) функцию:

1. Аналитический способ. Функция задается с помощью математической формулы. Это самый распространенный способ. Например: $y = 2x + 5$, $g(t) = \sqrt{t-1}$.
2. Графический способ. Функция задается с помощью графика. График функции — это множество всех точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции. Важно, чтобы любая вертикальная прямая пересекала график не более чем в одной точке (этот критерий называется тестом вертикальной линии).
3. Табличный способ. Функция задается с помощью таблицы, в которой для каждого значения аргумента из некоторого набора указывается соответствующее значение функции. Этот способ часто используется в экспериментальных науках или для представления дискретных данных.
4. Словесный способ. Правило зависимости описывается словами. Например: "каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие сумма его цифр".

Ответ: Функция — это правило или закон, который устанавливает однозначное соответствие между элементами двух множеств. Согласно этому правилу, каждому элементу $x$ из первого множества (области определения) соответствует ровно один элемент $y$ из второго множества (области значений). Эта зависимость обычно записывается как $y=f(x)$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $y$ — зависимая переменная (значение функции).