Номер 14, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

14. Найдите множество решений системы неравенств $ \begin{cases} x - 1 > 2x - 3, \\ 4x + 5 > x + 17. \end{cases} $

A) $\emptyset$

Б) $(2; +\infty)$

В) $(-\infty; 4)$

Г) $(2; 4)$

Для того чтобы найти множество решений системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство в отдельности, а затем найти пересечение (общую часть) полученных множеств решений.

1. Решим первое неравенство системы:

$x - 1 > 2x - 3$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в правую часть, а числовые слагаемые — в левую часть неравенства:

$3 - 1 > 2x - x$

Выполним вычисления:

$2 > x$

Это неравенство можно записать в более привычном виде:

$x < 2$

Множество решений первого неравенства представляет собой числовой промежуток $(-\infty; 2)$.

2. Решим второе неравенство системы:

$4x + 5 > x + 17$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую часть неравенства:

$4x - x > 17 - 5$

Выполним вычисления:

$3x > 12$

Разделим обе части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$x > 4$

Множество решений второго неравенства представляет собой числовой промежуток $(4; +\infty)$.

3. Найдем множество решений системы:

Решением системы является пересечение множеств решений каждого из неравенств. Нам необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют одновременно двум условиям: $x < 2$ и $x > 4$.

На числовой оси интервал $(-\infty; 2)$ (числа, меньшие 2) и интервал $(4; +\infty)$ (числа, большие 4) не имеют общих точек.

Пересечение этих множеств является пустым множеством:

$(-\infty; 2) \cap (4; +\infty) = \emptyset$

Таким образом, данная система неравенств не имеет решений.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту А.

Ответ: А) $\emptyset$