Номер 13, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

13. Какая из данных систем неравенств не имеет решений?

А) $ \begin{cases} x \ge -3, \\ x \le -2 \end{cases} $

Б) $ \begin{cases} x > -3, \\ x > -2 \end{cases} $

В) $ \begin{cases} x \ge -3, \\ x \le -3 \end{cases} $

Г) $ \begin{cases} x \ge -2, \\ x \le -3 \end{cases} $

Чтобы определить, какая из систем не имеет решений, необходимо проанализировать каждую из них по отдельности, найдя пересечение множеств решений для каждого неравенства в системе.

А)

Рассмотрим систему: $ \begin{cases} x \ge -3, \\ x \le -2 \end{cases} $
Первое неравенство $x \ge -3$ задает числовой промежуток $[-3; +\infty)$.
Второе неравенство $x \le -2$ задает числовой промежуток $(-\infty; -2]$.
Решением системы является пересечение этих двух промежутков. На числовой оси это будет отрезок от -3 до -2 включительно.
$[-3; +\infty) \cap (-\infty; -2] = [-3; -2]$.
Поскольку пересечение не является пустым множеством, система имеет решения.
Ответ: система имеет решения, $x \in [-3; -2]$.

Б)

Рассмотрим систему: $ \begin{cases} x > -3, \\ x > -2 \end{cases} $
Система требует, чтобы переменная $x$ была одновременно больше -3 и больше -2. Если число больше -2, то оно автоматически больше и -3. Таким образом, решением системы является более сильное (ограничивающее) неравенство.
Решением является промежуток $(-2; +\infty)$.
Система имеет бесконечное множество решений.
Ответ: система имеет решения, $x \in (-2; +\infty)$.

В)

Рассмотрим систему: $ \begin{cases} x \ge -3, \\ x \le -3 \end{cases} $
Система требует, чтобы переменная $x$ была одновременно не меньше -3 и не больше -3.
Единственное число, удовлетворяющее этим двум условиям, — это само число -3.
Система имеет единственное решение.
Ответ: система имеет решение, $x = -3$.

Г)

Рассмотрим систему: $ \begin{cases} x \ge -2, \\ x \le -3 \end{cases} $
Первое неравенство $x \ge -2$ задает промежуток $[-2; +\infty)$.
Второе неравенство $x \le -3$ задает промежуток $(-\infty; -3]$.
Необходимо найти пересечение этих промежутков: $[-2; +\infty) \cap (-\infty; -3]$.
Поскольку число -2 больше, чем -3, на числовой прямой промежуток $(-\infty; -3]$ целиком лежит левее промежутка $[-2; +\infty)$. Эти два множества не имеют общих точек.
Следовательно, не существует такого значения $x$, которое было бы одновременно больше или равно -2 и меньше или равно -3. Пересечение множеств пусто.
Ответ: система не имеет решений.

Таким образом, система неравенств, которая не имеет решений, представлена в варианте Г.