Номер 11, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

11. Найдите наименьшее целое решение неравенства $ \frac{3x-5}{2} > \frac{8-x}{3} $.

А) 2

Б) 3

В) 4

Г) определить невозможно

Для решения неравенства $\frac{3x - 5}{2} > \frac{8 - x}{3}$ и нахождения его наименьшего целого решения, выполним следующие шаги.

1. Избавление от дробей

Чтобы упростить неравенство, умножим обе его части на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 2 и 3. НОК(2, 3) = 6. Так как 6 — положительное число, знак неравенства при умножении сохранится.

$6 \cdot \frac{3x - 5}{2} > 6 \cdot \frac{8 - x}{3}$

Выполнив сокращение дробей, получаем:

$3 \cdot (3x - 5) > 2 \cdot (8 - x)$

2. Раскрытие скобок

Теперь раскроем скобки в обеих частях неравенства, применив распределительный закон умножения:

$3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 > 2 \cdot 8 - 2 \cdot x$

$9x - 15 > 16 - 2x$

3. Группировка слагаемых

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть неравенства, а постоянные слагаемые — в правую. При переносе слагаемых из одной части в другую их знаки меняются на противоположные.

$9x + 2x > 16 + 15$

Приведем подобные слагаемые:

$11x > 31$

4. Решение относительно $x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 11. Так как 11 — положительное число, знак неравенства не меняется.

$x > \frac{31}{11}$

5. Нахождение наименьшего целого решения

Для того чтобы найти наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, представим дробь $\frac{31}{11}$ в виде смешанного числа или десятичной дроби:

$\frac{31}{11} = 2\frac{9}{11} \approx 2,82$

Итак, мы ищем наименьшее целое число $x$, которое строго больше $2\frac{9}{11}$. На числовой прямой первое целое число, расположенное правее $2\frac{9}{11}$, это 3.

Следовательно, наименьшее целое решение неравенства — это 3, что соответствует варианту Б).

Ответ: 3