Номер 16, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

16. Сколько целых решений имеет система неравенств

$ \begin{cases} x - \frac{x-2}{3} \ge \frac{x-3}{4} - \frac{x-1}{2} \\ 1 - 0.5x > x - 4 \end{cases} $

А) 3

Б) 4

В) 5

Г) 6

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Рассмотрим первое неравенство: $x - \frac{x-2}{3} \ge \frac{x-3}{4} - \frac{x-1}{2}$.

Чтобы избавиться от дробей в знаменателях, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (3, 4 и 2), которое равно 12:

$12 \cdot \left(x - \frac{x-2}{3}\right) \ge 12 \cdot \left(\frac{x-3}{4} - \frac{x-1}{2}\right)$

$12x - 4(x-2) \ge 3(x-3) - 6(x-1)$

Раскроем скобки:

$12x - 4x + 8 \ge 3x - 9 - 6x + 6$

Приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства:

$8x + 8 \ge -3x - 3$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую:

$8x + 3x \ge -3 - 8$

$11x \ge -11$

Разделим обе части на 11:

$x \ge -1$

Решением первого неравенства является промежуток $[-1; +\infty)$.

Рассмотрим второе неравенство: $1 - 0.5x > x - 4$.

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а постоянные слагаемые — в левую, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$1 + 4 > x + 0.5x$

$5 > 1.5x$

Разделим обе части на 1.5:

$\frac{5}{1.5} > x$

Для удобства вычислений представим 1.5 в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{2}$:

$x < \frac{5}{3/2} = 5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$

Так как $\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$, то $x < 3\frac{1}{3}$.

Решением второго неравенства является промежуток $(-\infty; \frac{10}{3})$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств:

$\begin{cases} x \ge -1 \\ x < \frac{10}{3} \end{cases}$

Таким образом, общее решение системы — это промежуток $[-1; \frac{10}{3})$.

Теперь найдем все целые числа $x$, которые удовлетворяют этому двойному неравенству. Поскольку $\frac{10}{3} \approx 3.33$, мы ищем целые числа в промежутке $[-1; 3.33)$.

К этому промежутку принадлежат следующие целые числа: -1, 0, 1, 2, 3.

Подсчитаем их количество: всего 5 целых чисел.

Ответ: 5