Номер 17, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

17. Решите неравенство $-3 < \frac{1-2x}{5} - 2 < 1$.

А) $(-3; 7)$

Б) $(-7; 3)$

В) $(-7; -3)$

Г) $(3; 7)$

Чтобы решить двойное неравенство $ -3 < \frac{1-2x}{5} - 2 < 1 $, необходимо выполнить последовательные алгебраические преобразования со всеми тремя его частями. Цель — изолировать переменную $x$ в центральной части.

1. Начнем с прибавления числа 2 ко всем частям неравенства, чтобы избавиться от $-2$ в центре: $$-3 + 2 < \frac{1-2x}{5} - 2 + 2 < 1 + 2$$ Выполнив сложение, получаем: $$-1 < \frac{1-2x}{5} < 3$$

2. Теперь умножим все части неравенства на 5, чтобы убрать знаменатель. Так как 5 — положительное число, знаки неравенства сохраняются: $$-1 \cdot 5 < (\frac{1-2x}{5}) \cdot 5 < 3 \cdot 5$$ $$-5 < 1-2x < 15$$

3. Далее, вычтем 1 из всех частей, чтобы в центральной части осталось только выражение, содержащее $x$: $$-5 - 1 < 1 - 2x - 1 < 15 - 1$$ $$-6 < -2x < 14$$

4. На последнем шаге разделим все части неравенства на -2. Важно: при делении (или умножении) на отрицательное число знаки неравенства необходимо поменять на противоположные: $$\frac{-6}{-2} > \frac{-2x}{-2} > \frac{14}{-2}$$ $$3 > x > -7$$

Для удобства восприятия запишем полученное решение в стандартном виде (от меньшего числа к большему): $$-7 < x < 3$$ Это неравенство означает, что решением является множество всех чисел, которые больше -7 и меньше 3. В виде числового промежутка это записывается как $(-7; 3)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом Б.

Ответ: Б) $(-7; 3)$