Страница 52 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

11. Найдите наименьшее целое решение неравенства $ \frac{3x-5}{2} > \frac{8-x}{3} $.

А) 2

Б) 3

В) 4

Г) определить невозможно

Для решения неравенства $\frac{3x - 5}{2} > \frac{8 - x}{3}$ и нахождения его наименьшего целого решения, выполним следующие шаги.

1. Избавление от дробей

Чтобы упростить неравенство, умножим обе его части на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 2 и 3. НОК(2, 3) = 6. Так как 6 — положительное число, знак неравенства при умножении сохранится.

$6 \cdot \frac{3x - 5}{2} > 6 \cdot \frac{8 - x}{3}$

Выполнив сокращение дробей, получаем:

$3 \cdot (3x - 5) > 2 \cdot (8 - x)$

2. Раскрытие скобок

Теперь раскроем скобки в обеих частях неравенства, применив распределительный закон умножения:

$3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 > 2 \cdot 8 - 2 \cdot x$

$9x - 15 > 16 - 2x$

3. Группировка слагаемых

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть неравенства, а постоянные слагаемые — в правую. При переносе слагаемых из одной части в другую их знаки меняются на противоположные.

$9x + 2x > 16 + 15$

Приведем подобные слагаемые:

$11x > 31$

4. Решение относительно $x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 11. Так как 11 — положительное число, знак неравенства не меняется.

$x > \frac{31}{11}$

5. Нахождение наименьшего целого решения

Для того чтобы найти наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, представим дробь $\frac{31}{11}$ в виде смешанного числа или десятичной дроби:

$\frac{31}{11} = 2\frac{9}{11} \approx 2,82$

Итак, мы ищем наименьшее целое число $x$, которое строго больше $2\frac{9}{11}$. На числовой прямой первое целое число, расположенное правее $2\frac{9}{11}$, это 3.

Следовательно, наименьшее целое решение неравенства — это 3, что соответствует варианту Б).

Ответ: 3

12. Чему равно произведение натуральных чисел, принадлежащих области определения выражения $\sqrt{14 - 3x}$?

А) 4Б) 10В) 18Г) 24

Область определения выражения $ \sqrt{14 - 3x} $ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).

Составим и решим неравенство:
$ 14 - 3x \geq 0 $
Переносим 14 в правую часть неравенства:
$ -3x \geq -14 $
При делении обеих частей неравенства на отрицательное число (-3), знак неравенства меняется на противоположный:
$ x \leq \frac{-14}{-3} $
$ x \leq \frac{14}{3} $

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, чтобы было легче определить целые значения:
$ \frac{14}{3} = 4 \frac{2}{3} $
Таким образом, область определения выражения — это все числа в промежутке $ (-\infty; 4 \frac{2}{3}] $.

Далее по условию задачи необходимо найти натуральные числа, принадлежащие этой области определения. Натуральные числа – это целые положительные числа (1, 2, 3, ...).
Натуральные числа, удовлетворяющие условию $ x \leq 4 \frac{2}{3} $, это: 1, 2, 3, 4.

Теперь найдем произведение этих натуральных чисел:
$ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 $

Ответ: 24

13. Какая из данных систем неравенств не имеет решений?

А) $ \begin{cases} x \ge -3, \\ x \le -2 \end{cases} $

Б) $ \begin{cases} x > -3, \\ x > -2 \end{cases} $

В) $ \begin{cases} x \ge -3, \\ x \le -3 \end{cases} $

Г) $ \begin{cases} x \ge -2, \\ x \le -3 \end{cases} $

Чтобы определить, какая из систем не имеет решений, необходимо проанализировать каждую из них по отдельности, найдя пересечение множеств решений для каждого неравенства в системе.

А)

Рассмотрим систему: $ \begin{cases} x \ge -3, \\ x \le -2 \end{cases} $
Первое неравенство $x \ge -3$ задает числовой промежуток $[-3; +\infty)$.
Второе неравенство $x \le -2$ задает числовой промежуток $(-\infty; -2]$.
Решением системы является пересечение этих двух промежутков. На числовой оси это будет отрезок от -3 до -2 включительно.
$[-3; +\infty) \cap (-\infty; -2] = [-3; -2]$.
Поскольку пересечение не является пустым множеством, система имеет решения.
Ответ: система имеет решения, $x \in [-3; -2]$.

Б)

Рассмотрим систему: $ \begin{cases} x > -3, \\ x > -2 \end{cases} $
Система требует, чтобы переменная $x$ была одновременно больше -3 и больше -2. Если число больше -2, то оно автоматически больше и -3. Таким образом, решением системы является более сильное (ограничивающее) неравенство.
Решением является промежуток $(-2; +\infty)$.
Система имеет бесконечное множество решений.
Ответ: система имеет решения, $x \in (-2; +\infty)$.

В)

Рассмотрим систему: $ \begin{cases} x \ge -3, \\ x \le -3 \end{cases} $
Система требует, чтобы переменная $x$ была одновременно не меньше -3 и не больше -3.
Единственное число, удовлетворяющее этим двум условиям, — это само число -3.
Система имеет единственное решение.
Ответ: система имеет решение, $x = -3$.

Г)

Рассмотрим систему: $ \begin{cases} x \ge -2, \\ x \le -3 \end{cases} $
Первое неравенство $x \ge -2$ задает промежуток $[-2; +\infty)$.
Второе неравенство $x \le -3$ задает промежуток $(-\infty; -3]$.
Необходимо найти пересечение этих промежутков: $[-2; +\infty) \cap (-\infty; -3]$.
Поскольку число -2 больше, чем -3, на числовой прямой промежуток $(-\infty; -3]$ целиком лежит левее промежутка $[-2; +\infty)$. Эти два множества не имеют общих точек.
Следовательно, не существует такого значения $x$, которое было бы одновременно больше или равно -2 и меньше или равно -3. Пересечение множеств пусто.
Ответ: система не имеет решений.

Таким образом, система неравенств, которая не имеет решений, представлена в варианте Г.

14. Найдите множество решений системы неравенств $ \begin{cases} x - 1 > 2x - 3, \\ 4x + 5 > x + 17. \end{cases} $

A) $\emptyset$

Б) $(2; +\infty)$

В) $(-\infty; 4)$

Г) $(2; 4)$

Для того чтобы найти множество решений системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство в отдельности, а затем найти пересечение (общую часть) полученных множеств решений.

1. Решим первое неравенство системы:

$x - 1 > 2x - 3$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в правую часть, а числовые слагаемые — в левую часть неравенства:

$3 - 1 > 2x - x$

Выполним вычисления:

$2 > x$

Это неравенство можно записать в более привычном виде:

$x < 2$

Множество решений первого неравенства представляет собой числовой промежуток $(-\infty; 2)$.

2. Решим второе неравенство системы:

$4x + 5 > x + 17$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую часть неравенства:

$4x - x > 17 - 5$

Выполним вычисления:

$3x > 12$

Разделим обе части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$x > 4$

Множество решений второго неравенства представляет собой числовой промежуток $(4; +\infty)$.

3. Найдем множество решений системы:

Решением системы является пересечение множеств решений каждого из неравенств. Нам необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют одновременно двум условиям: $x < 2$ и $x > 4$.

На числовой оси интервал $(-\infty; 2)$ (числа, меньшие 2) и интервал $(4; +\infty)$ (числа, большие 4) не имеют общих точек.

Пересечение этих множеств является пустым множеством:

$(-\infty; 2) \cap (4; +\infty) = \emptyset$

Таким образом, данная система неравенств не имеет решений.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту А.

Ответ: А) $\emptyset$

15. Какой из изображённых числовых промежутков соответствует множеству решений системы неравенств $ \begin{cases} 8 - 7x > 3x - 2 \\ -2(3x - 2.6) \le -2 \cdot (-2.6) \end{cases} $?

А

Б

В

Г

Чтобы найти множество решений системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение (общую часть) их решений.

1. Решим первое неравенство:

$8 - 7x > 3x - 2$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в правую часть, а числовые слагаемые — в левую:

$8 + 2 > 3x + 7x$

$10 > 10x$

Разделим обе части неравенства на 10. Так как 10 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$1 > x$

Это эквивалентно записи $x < 1$. Решением является числовой промежуток $(-\infty; 1)$.

2. Решим второе неравенство:

$-2(3x - 2,6) \le -2 \cdot (-2,6)$

Сначала вычислим значение в правой части:

$-2(3x - 2,6) \le 5,2$

Теперь разделим обе части неравенства на -2. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$3x - 2,6 \ge \frac{5,2}{-2}$

$3x - 2,6 \ge -2,6$

Перенесем числовое слагаемое -2,6 в правую часть с противоположным знаком:

$3x \ge -2,6 + 2,6$

$3x \ge 0$

Разделим обе части на 3:

$x \ge 0$

Решением является числовой промежуток $[0; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений:

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств. Нам нужно найти все значения $x$, которые одновременно удовлетворяют двум условиям: $x < 1$ и $x \ge 0$.

Объединяя эти два условия, получаем двойное неравенство: $0 \le x < 1$.

Этому неравенству соответствует числовой промежуток $[0; 1)$. На числовой прямой это означает, что точка 0 включена в промежуток (изображается закрашенным кружком), а точка 1 не включена (изображается выколотым или пустым кружком).

Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что именно рисунок под буквой Г соответствует промежутку $[0; 1)$.

Ответ: Г

16. Сколько целых решений имеет система неравенств

$ \begin{cases} x - \frac{x-2}{3} \ge \frac{x-3}{4} - \frac{x-1}{2} \\ 1 - 0.5x > x - 4 \end{cases} $

А) 3

Б) 4

В) 5

Г) 6

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Рассмотрим первое неравенство: $x - \frac{x-2}{3} \ge \frac{x-3}{4} - \frac{x-1}{2}$.

Чтобы избавиться от дробей в знаменателях, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (3, 4 и 2), которое равно 12:

$12 \cdot \left(x - \frac{x-2}{3}\right) \ge 12 \cdot \left(\frac{x-3}{4} - \frac{x-1}{2}\right)$

$12x - 4(x-2) \ge 3(x-3) - 6(x-1)$

Раскроем скобки:

$12x - 4x + 8 \ge 3x - 9 - 6x + 6$

Приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства:

$8x + 8 \ge -3x - 3$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую:

$8x + 3x \ge -3 - 8$

$11x \ge -11$

Разделим обе части на 11:

$x \ge -1$

Решением первого неравенства является промежуток $[-1; +\infty)$.

Рассмотрим второе неравенство: $1 - 0.5x > x - 4$.

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а постоянные слагаемые — в левую, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$1 + 4 > x + 0.5x$

$5 > 1.5x$

Разделим обе части на 1.5:

$\frac{5}{1.5} > x$

Для удобства вычислений представим 1.5 в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{2}$:

$x < \frac{5}{3/2} = 5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$

Так как $\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$, то $x < 3\frac{1}{3}$.

Решением второго неравенства является промежуток $(-\infty; \frac{10}{3})$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств:

$\begin{cases} x \ge -1 \\ x < \frac{10}{3} \end{cases}$

Таким образом, общее решение системы — это промежуток $[-1; \frac{10}{3})$.

Теперь найдем все целые числа $x$, которые удовлетворяют этому двойному неравенству. Поскольку $\frac{10}{3} \approx 3.33$, мы ищем целые числа в промежутке $[-1; 3.33)$.

К этому промежутку принадлежат следующие целые числа: -1, 0, 1, 2, 3.

Подсчитаем их количество: всего 5 целых чисел.

Ответ: 5

17. Решите неравенство $-3 < \frac{1-2x}{5} - 2 < 1$.

А) $(-3; 7)$

Б) $(-7; 3)$

В) $(-7; -3)$

Г) $(3; 7)$

Чтобы решить двойное неравенство $ -3 < \frac{1-2x}{5} - 2 < 1 $, необходимо выполнить последовательные алгебраические преобразования со всеми тремя его частями. Цель — изолировать переменную $x$ в центральной части.

1. Начнем с прибавления числа 2 ко всем частям неравенства, чтобы избавиться от $-2$ в центре: $$-3 + 2 < \frac{1-2x}{5} - 2 + 2 < 1 + 2$$ Выполнив сложение, получаем: $$-1 < \frac{1-2x}{5} < 3$$

2. Теперь умножим все части неравенства на 5, чтобы убрать знаменатель. Так как 5 — положительное число, знаки неравенства сохраняются: $$-1 \cdot 5 < (\frac{1-2x}{5}) \cdot 5 < 3 \cdot 5$$ $$-5 < 1-2x < 15$$

3. Далее, вычтем 1 из всех частей, чтобы в центральной части осталось только выражение, содержащее $x$: $$-5 - 1 < 1 - 2x - 1 < 15 - 1$$ $$-6 < -2x < 14$$

4. На последнем шаге разделим все части неравенства на -2. Важно: при делении (или умножении) на отрицательное число знаки неравенства необходимо поменять на противоположные: $$\frac{-6}{-2} > \frac{-2x}{-2} > \frac{14}{-2}$$ $$3 > x > -7$$

Для удобства восприятия запишем полученное решение в стандартном виде (от меньшего числа к большему): $$-7 < x < 3$$ Это неравенство означает, что решением является множество всех чисел, которые больше -7 и меньше 3. В виде числового промежутка это записывается как $(-7; 3)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом Б.

Ответ: Б) $(-7; 3)$

18. При каких значениях $a$ уравнение $2x^2 + 6x + a = 0$ не имеет корней?

А) $a < 4,5$

Б) $a > 4,5$

В) $a > -4,5$

Г) $a < -4,5$

Уравнение $2x^2 + 6x + a = 0$ является квадратным уравнением вида $Ax^2 + Bx + C = 0$.

Квадратное уравнение не имеет действительных корней в том случае, если его дискриминант $D$ меньше нуля ($D < 0$).

Дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$.

В данном уравнении коэффициенты следующие: $A=2$, $B=6$, $C=a$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:
$D = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot a$
$D = 36 - 8a$

Теперь используем условие отсутствия корней $D < 0$ и решим полученное неравенство относительно параметра $a$:
$36 - 8a < 0$

Перенесем слагаемое с $a$ в правую часть неравенства, изменив знак:
$36 < 8a$

Разделим обе части неравенства на 8. Так как 8 — положительное число, знак неравенства не меняется:
$\frac{36}{8} < a$
$a > 4,5$

Следовательно, данное уравнение не имеет корней при $a > 4,5$. Этот результат соответствует варианту ответа Б.

Ответ: $a > 4,5$