Страница 51 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сравните числа $a$ и $b$, если $a - b = -3,6$.

А) $a > b$

Б) $a < b$

В) $a = b$

Г) сравнить невозможно

Для того чтобы сравнить два числа $a$ и $b$, необходимо определить знак их разности $a - b$. Существуют три основных правила:

• Если разность $a - b$ — положительное число ($a - b > 0$), то $a$ больше $b$ ($a > b$).
• Если разность $a - b$ — отрицательное число ($a - b < 0$), то $a$ меньше $b$ ($a < b$).
• Если разность $a - b$ равна нулю ($a - b = 0$), то числа $a$ и $b$ равны ($a = b$).

Согласно условию задачи, нам дано равенство:

$a - b = -3,6$

Мы видим, что разность чисел $a$ и $b$ равна $-3,6$. Так как $-3,6$ является отрицательным числом, то выполняется условие $a - b < 0$.

Применяя второе правило, мы заключаем, что число $a$ меньше числа $b$.

Альтернативный способ решения:

Выразим переменную $a$ из данного уравнения $a - b = -3,6$. Для этого перенесем $-b$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$a = b - 3,6$

Это равенство показывает, что для получения числа $a$ нужно из числа $b$ вычесть $3,6$. Следовательно, число $a$ меньше числа $b$ на $3,6$.

Оба способа приводят к одному и тому же выводу: $a < b$. Это соответствует варианту ответа Б.

Ответ: Б) $a < b$

2. Известно, что $m > n$. Какое из данных утверждений ошибочно?

А) $m - 2 > n - 2$

В) $m + 2 > n + 2$

Б) $2m > 2n$

Г) $-2m > -2n$

Для того чтобы определить, какое из утверждений ошибочно, необходимо проанализировать каждое из них, основываясь на свойствах числовых неравенств. Исходное условие: $m > n$.

А)

Рассмотрим утверждение $m - 2 > n - 2$.
Согласно одному из основных свойств неравенств, если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится. В данном случае из обеих частей исходного неравенства $m > n$ вычитается число 2. Следовательно, неравенство $m - 2 > n - 2$ является верным.
Ответ: утверждение верное.

Б)

Рассмотрим утверждение $2m > 2n$.
Согласно свойству неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. В данном случае обе части неравенства $m > n$ умножаются на положительное число 2. Следовательно, неравенство $2m > 2n$ является верным.
Ответ: утверждение верное.

В)

Рассмотрим утверждение $m + 2 > n + 2$.
Согласно свойству неравенств, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится. В данном случае к обеим частям неравенства $m > n$ прибавляется число 2. Следовательно, неравенство $m + 2 > n + 2$ является верным.
Ответ: утверждение верное.

Г)

Рассмотрим утверждение $-2m > -2n$.
Согласно свойству неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства необходимо изменить на противоположный. В данном случае обе части неравенства $m > n$ умножаются на отрицательное число -2. Поэтому знак неравенства «больше» ($>$) должен измениться на знак «меньше» (<). Правильное неравенство должно выглядеть так: $-2m < -2n$.
Ответ: утверждение ошибочное.

Таким образом, единственное ошибочное утверждение из предложенных — это Г).

3. Оцените периметр $P$ равностороннего треугольника со стороной $a$ см, если $0,8 < a < 1,2$.

А) $1,6$ см $< P < 2,4$ см

Б) $2,4$ см $< P < 3,6$ см

В) $3,2$ см $< P < 4,8$ см

Г) $1,2$ см $< P < 1,8$ см

Периметр $P$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $P = 3a$, так как все три стороны такого треугольника равны.

Согласно условию задачи, длина стороны $a$ задана в виде двойного неравенства:

$0,8 < a < 1,2$

Чтобы найти диапазон значений для периметра $P$, необходимо умножить все части этого неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства сохраняются.

$3 \times 0,8 < 3 \times a < 3 \times 1,2$

Произведем вычисления:

$2,4 < P < 3,6$

Таким образом, периметр треугольника $P$ находится в пределах от 2,4 см до 3,6 см. Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом Б).

Ответ: Б) $2,4 \text{ см} < P < 3,6 \text{ см}$

4. Известно, что $2 < x < 3$ и $1 < y < 4$. Оцените значение выражения $xy$.

А) $4 < xy < 8$

Б) $3 < xy < 7$

В) $2 < xy < 12$

Г) $6 < xy < 14$

Для того чтобы оценить значение выражения xy, необходимо использовать свойство умножения числовых неравенств.

Нам даны два двойных неравенства:

$2 < x < 3$

$1 < y < 4$

Согласно условию, переменные x и y принимают только положительные значения, так как $x > 2$ и $y > 1$. Для неравенств, у которых все части положительны, справедливо правило почленного умножения: чтобы получить неравенство для произведения xy, нужно перемножить левые, средние и правые части исходных неравенств, сохранив знаки неравенств.

Умножим левые части неравенств, чтобы найти нижнюю границу для произведения xy:

$2 \cdot 1 = 2$

Умножим правые части неравенств, чтобы найти верхнюю границу для произведения xy:

$3 \cdot 4 = 12$

Таким образом, мы получаем следующее неравенство для выражения xy:

$2 < xy < 12$

Среди предложенных вариантов, этот результат соответствует варианту В).

Ответ: В) $2 < xy < 12$.

5. Известно, что $-18 < y < 12$. Оцените значение выражения $\frac{1}{6}y + 2$.

А) $-3 < \frac{1}{6}y + 2 < 4$ В) $-1 < \frac{1}{6}y + 2 < 2$

Б) $-1 < \frac{1}{6}y + 2 < 4$ Г) $-3 < \frac{1}{6}y + 2 < 2$

Нам дано неравенство $-18 < y < 12$. Наша задача — оценить значение выражения $\frac{1}{6}y + 2$. Для этого мы выполним алгебраические преобразования с исходным неравенством.

1. Умножение на $\frac{1}{6}$

Сначала умножим все три части неравенства на $\frac{1}{6}$. Так как $\frac{1}{6}$ — положительное число, знаки неравенства сохраняются.

$-18 \cdot \frac{1}{6} < y \cdot \frac{1}{6} < 12 \cdot \frac{1}{6}$

Вычислим произведения:

$\frac{-18}{6} < \frac{1}{6}y < \frac{12}{6}$

$-3 < \frac{1}{6}y < 2$

2. Прибавление 2

Теперь к каждой части нового неравенства прибавим 2. Это действие также не меняет знаков неравенства.

$-3 + 2 < \frac{1}{6}y + 2 < 2 + 2$

Выполним сложение:

$-1 < \frac{1}{6}y + 2 < 4$

Таким образом, мы оценили значение выражения. Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту Б).

Ответ: Б) $-1 < \frac{1}{6}y + 2 < 4$

6. Дано: $a > 0$, $b < 0$. Какое из данных неравенств может быть правильным?

А) $a^2 < b^2$

Б) $\frac{a}{b} > 1$

В) $a - b < 0$

Г) $a^2b^3 > 0$

По условию задачи дано, что $a$ — положительное число ($a > 0$), а $b$ — отрицательное число ($b < 0$). Проанализируем каждое из предложенных неравенств, чтобы определить, какое из них может быть верным.

А) $a^2 < b^2$

Рассмотрим неравенство $a^2 < b^2$. Так как $a$ и $b$ не равны нулю, их квадраты $a^2$ и $b^2$ всегда будут положительными числами. Верность этого неравенства зависит от абсолютных значений (модулей) чисел $a$ и $b$. Неравенство $a^2 < b^2$ равносильно неравенству $\sqrt{a^2} < \sqrt{b^2}$, что для любых чисел $a$ и $b$ эквивалентно $|a| < |b|$.

Мы можем подобрать такие значения $a$ и $b$, которые удовлетворяют условиям $a > 0$, $b < 0$ и $|a| < |b|$. Например, пусть $a = 2$ и $b = -3$. Проверим:

$|2| < |-3| \Rightarrow 2 < 3$. Это верно.

Подставим эти значения в исходное неравенство:

$2^2 < (-3)^2$

$4 < 9$

Неравенство выполняется. Следовательно, это неравенство может быть правильным.

Ответ: неравенство может быть правильным.

Б) $\frac{a}{b} > 1$

Рассмотрим дробь $\frac{a}{b}$. По условию, числитель $a$ — положительное число, а знаменатель $b$ — отрицательное число. При делении положительного числа на отрицательное результат всегда будет отрицательным. Таким образом, $\frac{a}{b} < 0$.

Неравенство $\frac{a}{b} > 1$ утверждает, что отрицательное число больше 1, что является ложным утверждением для любых $a$ и $b$, удовлетворяющих начальным условиям. Следовательно, это неравенство всегда неверно.

Ответ: неравенство не может быть правильным.

В) $a - b < 0$

Рассмотрим разность $a - b$. По условию $a > 0$. Так как $b < 0$, то число $-b$ будет положительным ($-b > 0$). Выражение $a - b$ можно представить в виде суммы двух положительных чисел: $a + (-b)$. Сумма двух положительных чисел всегда положительна. Таким образом, $a - b > 0$.

Неравенство $a - b < 0$ утверждает, что положительное число меньше нуля, что ложно. Следовательно, это неравенство всегда неверно.

Ответ: неравенство не может быть правильным.

Г) $a^2b^3 > 0$

Рассмотрим произведение $a^2b^3$. Разберем знаки множителей:

• Поскольку $a > 0$, то $a^2 > 0$ (квадрат положительного числа положителен).
• Поскольку $b < 0$, то $b^3 < 0$ (нечетная степень отрицательного числа отрицательна).

Произведение $a^2b^3$ является произведением положительного числа ($a^2$) и отрицательного числа ($b^3$). Результат такого произведения всегда отрицателен. Таким образом, $a^2b^3 < 0$.

Неравенство $a^2b^3 > 0$ утверждает, что отрицательное число больше нуля, что ложно. Следовательно, это неравенство всегда неверно.

Ответ: неравенство не может быть правильным.

Итак, проанализировав все варианты, мы установили, что неравенства Б, В и Г всегда являются ложными при заданных условиях. Только неравенство А может быть истинным при определенном выборе чисел $a$ и $b$. Таким образом, единственное неравенство, которое может быть правильным, — это А).

7. Множеством решений какого неравенства является множество действительных чисел?

А) $2x > -2$

Б) $2x > 0$

В) $0x > -2$

Г) $0x > 0$

Для того чтобы ответить на вопрос, решим каждое из предложенных неравенств и найдем их множества решений.

А) $2x > -2$

Это линейное неравенство. Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$x > \frac{-2}{2}$

$x > -1$

Множеством решений является числовой промежуток от -1 до плюс бесконечности, не включая -1.

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

Б) $2x > 0$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x > \frac{0}{2}$

$x > 0$

Множеством решений является числовой промежуток от 0 до плюс бесконечности, не включая 0.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

В) $0x > -2$

Упростим левую часть неравенства. Произведение любого действительного числа $x$ на 0 всегда равно 0. Таким образом, неравенство можно переписать в виде:

$0 > -2$

Это верное числовое неравенство, так как 0 действительно больше -2. Поскольку истинность этого утверждения не зависит от значения переменной $x$, оно верно для любого действительного числа $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Г) $0x > 0$

Аналогично предыдущему пункту, заменим левую часть на 0:

$0 > 0$

Это неверное числовое неравенство, так как число 0 не может быть больше самого себя (оно равно себе). Следовательно, не существует ни одного значения $x$, при котором это неравенство было бы верным.

Ответ: $x \in \emptyset$ (решений нет).

Сравнив множества решений всех неравенств, мы видим, что только у неравенства В) множеством решений является множество всех действительных чисел.

8. Множеством решений какого неравенства является промежуток $(3;+\infty)$?

А) $x \geq 3$

Б) $x \leq 3$

В) $x > 3$

Г) $x < 3$

Задача состоит в том, чтобы найти неравенство, множеством решений которого является промежуток $(3; +\infty)$.

Промежуток, записанный в виде $(3; +\infty)$, представляет собой множество всех действительных чисел $x$, которые строго больше 3. Это следует из стандартных обозначений для числовых промежутков. Круглая скобка `(` возле числа 3 означает, что граничное число не входит в промежуток, что соответствует строгому неравенству ($>$ или <). Символ $+\infty$ означает, что промежуток не ограничен в положительную сторону.

Таким образом, запись $x \in (3; +\infty)$ эквивалентна неравенству $x > 3$.

Теперь проанализируем предложенные варианты, чтобы найти соответствующий:

А) Для неравенства $x \geq 3$ решением является промежуток $[3; +\infty)$. Здесь число 3 включается в множество решений, так как неравенство нестрогое. Это не соответствует условию.

Б) Для неравенства $x \leq 3$ решением является промежуток $(-\infty; 3]$. Это также не соответствует условию.

В) Для неравенства $x > 3$ решением является промежуток $(3; +\infty)$. Здесь число 3 не включается в множество решений, так как неравенство строгое. Этот вариант полностью совпадает с заданным промежутком.

Г) Для неравенства $x < 3$ решением является промежуток $(-\infty; 3)$. Это не соответствует условию.

Таким образом, единственное неравенство, множество решений которого является промежуток $(3; +\infty)$, — это $x > 3$.

Ответ: В) $x > 3$.

9. Найдите решения неравенства $ \frac{x}{4} \leq \frac{1}{5} $.

А) $ x \geq \frac{4}{5} $

Б) $ x \geq \frac{1}{20} $

В) $ x \leq \frac{4}{5} $

Г) $ x \leq \frac{1}{20} $

Для того чтобы решить неравенство $ \frac{x}{4} \le \frac{1}{5} $, необходимо найти все значения $x$, которые удовлетворяют этому условию. Для этого выразим переменную $x$.

Умножим обе части неравенства на 4. Поскольку 4 — это положительное число, знак неравенства ($ \le $) при умножении не изменится.

$ \frac{x}{4} \cdot 4 \le \frac{1}{5} \cdot 4 $

После выполнения умножения и упрощения получим:

$ x \le \frac{4}{5} $

Таким образом, решением неравенства является множество всех чисел, меньших или равных $ \frac{4}{5} $. Теперь проанализируем предложенные варианты ответа.

А) $ x \ge \frac{4}{5} $. Этот вариант неверен, поскольку знак неравенства противоположен тому, что мы получили в решении.

Б) $ x \ge \frac{1}{20} $. Этот вариант неверен.

В) $ x \le \frac{4}{5} $. Этот вариант является верным, так как он полностью совпадает с найденным решением.

Г) $ x \le \frac{1}{20} $. Этот вариант неверен. Чтобы сравнить дроби, приведем их к общему знаменателю: $ \frac{4}{5} = \frac{16}{20} $. Неравенство $ x \le \frac{16}{20} $ не эквивалентно $ x \le \frac{1}{20} $.

Ответ: В) $ x \le \frac{4}{5} $

10. Решите неравенство $-3x + 8 \geq 5$.

А) $x \leq 1$

Б) $x \geq 1$

В) $x \leq -1$

Г) $x \geq -1$

Чтобы решить неравенство $-3x + 8 \ge 5$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Перенести свободный член (число 8) из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный:
$ -3x \ge 5 - 8 $

2. Выполнить вычитание в правой части неравенства:
$ -3x \ge -3 $

3. Разделить обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на -3. При делении или умножении неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (знак $ \ge $ меняется на $ \le $):
$ \frac{-3x}{-3} \le \frac{-3}{-3} $

4. Упростить выражение, чтобы получить окончательный ответ:
$ x \le 1 $

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту А).

Ответ: $ x \le 1 $