Страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что называют областью определения выражения?

1. Что называют областью определения выражения?

Областью определения выражения (также известной как область допустимых значений или ОДЗ) называют множество всех значений переменных, при которых данное выражение имеет математический смысл. Другими словами, это все те значения переменных, для которых можно выполнить все указанные в выражении математические операции.

При нахождении области определения выражения необходимо учитывать следующие основные ограничения, которые делают операции невыполнимыми:

• Деление на ноль. Если в выражении есть дробь вида $\frac{A}{B}$, то ее знаменатель не может быть равен нулю. То есть, должно выполняться условие $B \neq 0$.
  Пример: В выражении $\frac{x+5}{x-2}$ знаменатель $x-2$ не может быть равен нулю. Следовательно, $x-2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$. Область определения: все числа, кроме 2, или $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
• Извлечение корня четной степени. Выражение, стоящее под знаком корня четной степени (квадратного, четвертой степени и т.д.), должно быть неотрицательным (то есть больше или равно нулю). Для выражения $\sqrt[2n]{A}$, где $n$ — натуральное число, должно выполняться условие $A \ge 0$.
  Пример: В выражении $\sqrt{x-7}$ подкоренное выражение $x-7$ должно быть неотрицательным. Следовательно, $x-7 \ge 0$, откуда $x \ge 7$. Область определения: промежуток $[7; +\infty)$.
• Логарифмические выражения. В выражении $\log_a(b)$ основание логарифма $a$ должно быть больше нуля и не равно единице ($a > 0, a \neq 1$), а аргумент логарифма $b$ должен быть строго больше нуля ($b > 0$).
  Пример: В выражении $\log_3(x+4)$ аргумент $x+4$ должен быть строго положительным. Следовательно, $x+4 > 0$, откуда $x > -4$. Область определения: промежуток $(-4; +\infty)$.

Если в выражении сочетаются несколько ограничений, то его область определения находится как пересечение множеств решений для каждого из этих ограничений.

Комбинированный пример: Найти область определения выражения $\frac{\sqrt{x+1}}{x-3}$.
Здесь присутствуют два ограничения:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.
Чтобы найти общую область определения, нужно удовлетворить обоим условиям одновременно. Это все числа, которые больше или равны -1, за исключением числа 3. В виде промежутков это записывается как $[-1; 3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: Областью определения выражения называют множество всех значений входящих в него переменных, при которых данное выражение имеет смысл, то есть все математические операции, из которых оно состоит, выполнимы.

2. В каких случаях говорят, что надо решить систему неравенств?

О необходимости решить систему неравенств говорят в тех случаях, когда требуется найти все значения переменной (или переменных), которые одновременно удовлетворяют нескольким условиям, выраженным в виде неравенств. По сути, это задача нахождения общих решений для двух или более неравенств, то есть пересечения их множеств решений.

Таким образом, решить систему неравенств — это значит найти множество всех её решений. Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором все неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства. Множество всех таких значений является пересечением множеств решений каждого из неравенств, входящих в систему.

Например, рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x > 2 \\ x < 5 \end{cases} $$ Решить эту систему означает найти все такие значения $x$, для которых одновременно истинно, что $x$ больше 2 и $x$ меньше 5. Геометрически это соответствует нахождению пересечения двух лучей на числовой прямой: $(2; +\infty)$ и $(-\infty; 5)$. Результатом является интервал $(2; 5)$. Любое число из этого интервала (например, 3 или 4,5) будет решением системы, а любое число вне этого интервала (например, 1 или 6) — не будет.

К подобной задаче прибегают, когда на искомую величину наложено несколько ограничивающих условий, и необходимо найти значения, которые соблюдают все эти ограничения одновременно.

Ответ: Говорят, что надо решить систему неравенств, когда стоит задача найти все значения переменной (или переменных), которые являются решениями каждого из данных неравенств одновременно. Это эквивалентно нахождению пересечения множеств решений всех неравенств, входящих в систему.

3. С помощью какого символа записывают систему неравенств?

Для записи системы неравенств, так же как и для системы уравнений, используется символ фигурной скобки {. Эта скобка ставится слева от неравенств, записанных друг под другом, и означает, что они должны выполняться одновременно.

Решить систему неравенств — это значит найти все значения переменной (или переменных), при которых каждое неравенство в системе обращается в верное числовое неравенство. Множество решений системы является пересечением множеств решений каждого из входящих в нее неравенств.

Например, система из двух неравенств с одной переменной $x$ записывается так:

$$ \begin{cases} 2x + 1 > 5 \\ 3x - 6 \le 9 \end{cases} $$

Чтобы решить эту систему, нужно найти решение для каждого неравенства по отдельности, а затем найти общую часть (пересечение) этих решений.

1. Решаем первое неравенство: $2x > 5 - 1 \implies 2x > 4 \implies x > 2$.

2. Решаем второе неравенство: $3x \le 9 + 6 \implies 3x \le 15 \implies x \le 5$.

Общим решением является интервал, где $x$ одновременно больше 2 и меньше или равен 5, то есть $x \in (2; 5]$.

Ответ: Систему неравенств записывают с помощью фигурной скобки {.

4. Что называют решением системы неравенств с одной переменной?

4. Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при подстановке которого каждое неравенство системы обращается в верное числовое неравенство. Другими словами, это такое значение переменной, которое удовлетворяет одновременно всем неравенствам, входящим в систему.

Чтобы найти все решения системы, необходимо найти множество решений для каждого отдельного неравенства, а затем найти пересечение этих множеств. Полученное пересечение и будет являться множеством решений системы неравенств. Если пересечение множеств пусто, то система не имеет решений.

Рассмотрим пример. Дана система неравенств:

$$ \begin{cases} 3x - 6 > 0 \\ x < 5 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство:

$3x - 6 > 0$

$3x > 6$

$x > 2$

Множество решений первого неравенства — числовой промежуток $(2; +\infty)$.

2. Второе неравенство уже решено: $x < 5$. Его множество решений — числовой промежуток $(-\infty; 5)$.

3. Найдём пересечение множеств решений: $(2; +\infty) \cap (-\infty; 5)$.

Для наглядности можно изобразить эти промежутки на числовой оси. Общей частью (пересечением) будет интервал $(2; 5)$.

Таким образом, любое число из интервала $(2; 5)$ является решением данной системы. Например, число $x=3$ является решением, так как оба неравенства выполняются: $3 \cdot 3 - 6 = 3 > 0$ (верно) и $3 < 5$ (верно). А число $x=6$ решением не является, так как не удовлетворяет второму неравенству ($6 < 5$ — неверно).

Ответ: Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, которое обращает каждое неравенство системы в верное числовое неравенство.

5. Что означает решить систему неравенств?

Решить систему неравенств — это значит найти все значения переменной (или переменных), при подстановке которых каждое из неравенств, входящих в систему, обращается в верное числовое неравенство. Множество всех таких значений, которые удовлетворяют одновременно всем неравенствам, и является решением системы.

Процесс решения заключается в нахождении пересечения множеств решений каждого отдельного неравенства. То есть, мы ищем те значения переменной, которые являются решениями для всех неравенств одновременно.

Рассмотрим наглядный пример. Пусть дана система неравенств с одной переменной $x$:

$$ \begin{cases} x > 2 \\ x < 5 \end{cases} $$

1. Сначала решим каждое неравенство отдельно.
   • Решением первого неравенства $x > 2$ является множество всех чисел, больших 2. Геометрически это числовой луч, который можно записать в виде промежутка $(2; +\infty)$.
   • Решением второго неравенства $x < 5$ является множество всех чисел, меньших 5. Геометрически это числовой луч $(-\infty; 5)$.
2. Теперь найдем общую часть (пересечение) полученных множеств решений. Нам нужно найти такие числа $x$, которые одновременно и больше 2, и меньше 5. Пересечением промежутков $(2; +\infty)$ и $(-\infty; 5)$ является интервал $(2; 5)$.

Это и есть решение системы. Любое число из интервала $(2; 5)$ (например, 3 или 4.1) сделает оба неравенства в системе верными.

Если бы пересечение множеств решений оказалось пустым (например, для системы $x > 5$ и $x < 2$), это означало бы, что система не имеет решений.

Ответ: Решить систему неравенств означает найти множество всех её частных решений, то есть найти пересечение множеств решений каждого из неравенств, входящих в систему.

6. Пересечение каких множеств надо найти, чтобы решить систему неравенств?

Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти пересечение множеств решений каждого из неравенств, входящих в эту систему.

Система неравенств — это набор из двух или более неравенств, которые должны выполняться одновременно. Решением системы является множество всех значений переменной, которые удовлетворяют каждому неравенству в системе.

Алгоритм решения системы неравенств следующий:

Шаг 1: Решить каждое неравенство системы по отдельности. Для каждого неравенства мы получаем множество его решений (часто это числовой промежуток).

Шаг 2: Найти пересечение полученных на первом шаге множеств решений. Пересечение множеств — это множество, содержащее только те элементы, которые принадлежат всем исходным множествам одновременно. Это пересечение и является решением всей системы.

Пример:

Рассмотрим систему: $$ \begin{cases} 2x - 4 > 0 \\ 3x \le 15 \end{cases} $$

Сначала решим первое неравенство:
$2x - 4 > 0$
$2x > 4$
$x > 2$
Множество решений этого неравенства: $M_1 = (2; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство:
$3x \le 15$
$x \le 5$
Множество решений этого неравенства: $M_2 = (-\infty; 5]$.

Наконец, найдем решение системы. Для этого нужно найти пересечение множеств $M_1$ и $M_2$:
$M = M_1 \cap M_2 = (2; +\infty) \cap (-\infty; 5]$.
Общими для обоих множеств являются все числа, которые одновременно больше 2 и меньше или равны 5.
Таким образом, решением системы является промежуток $(2; 5]$.

Ответ: Чтобы решить систему неравенств, надо найти пересечение множеств решений каждого неравенства, которое входит в данную систему.

7. Как записывают, читают и изображают промежуток, являющийся множеством решений неравенства вида: $a \le x \le b$; $a < x < b$; $a < x \le b$; $a \le x < b$?

$ a \le x \le b $

Это двойное неравенство описывает множество всех чисел $x$, которые больше или равны числу $a$ и одновременно меньше или равны числу $b$. Такой промежуток называется числовым отрезком.

• Запись: Используются квадратные скобки, которые показывают, что концы промежутка ($a$ и $b$) включаются в множество решений. Записывается как $ [a; b] $.

• Чтение: "Числовой отрезок от $a$ до $b$" или "промежуток от $a$ до $b$, включая $a$ и $b$".

• Изображение: На числовой прямой концы отрезка, точки $a$ и $b$, отмечаются закрашенными (сплошными) точками. Промежуток между ними заштриховывается.

Ответ: Запись: $ [a; b] $; чтение: "отрезок от $a$ до $b$"; изображение: на числовой оси закрашенные точки $a$ и $b$ и заштрихованный промежуток между ними.

$ a < x < b $

Это строгое двойное неравенство описывает множество всех чисел $x$, которые строго больше числа $a$ и строго меньше числа $b$. Такой промежуток называется интервалом.

• Запись: Используются круглые скобки, которые показывают, что концы промежутка ($a$ и $b$) не включаются в множество решений. Записывается как $ (a; b) $.

• Чтение: "Интервал от $a$ до $b$".

• Изображение: На числовой прямой концы интервала, точки $a$ и $b$, отмечаются выколотыми (пустыми) точками. Промежуток между ними заштриховывается.

Ответ: Запись: $ (a; b) $; чтение: "интервал от $a$ до $b$"; изображение: на числовой оси выколотые точки $a$ и $b$ и заштрихованный промежуток между ними.

$ a < x \le b $

Это двойное неравенство описывает множество всех чисел $x$, которые строго больше $a$ и при этом меньше или равны $b$. Такой промежуток называется полуинтервалом или полуотрезком.

• Запись: Используется комбинация скобок: круглая для строгого неравенства и квадратная для нестрогого. Записывается как $ (a; b] $.

• Чтение: "Полуинтервал от $a$ до $b$, включая $b$".

• Изображение: На числовой прямой точка $a$ (соответствующая строгому неравенству) отмечается выколотой точкой, а точка $b$ (соответствующая нестрогому) — закрашенной. Промежуток между ними заштриховывается.

Ответ: Запись: $ (a; b] $; чтение: "полуинтервал от $a$ до $b$, включая $b$"; изображение: на числовой оси выколотая точка $a$, закрашенная точка $b$ и заштрихованный промежуток между ними.

$ a \le x < b $

Это двойное неравенство описывает множество всех чисел $x$, которые больше или равны $a$ и при этом строго меньше $b$. Этот промежуток также является полуинтервалом или полуотрезком.

• Запись: Используется комбинация скобок: квадратная для нестрогого неравенства и круглая для строгого. Записывается как $ [a; b) $.

• Чтение: "Полуинтервал от $a$ до $b$, включая $a$".

• Изображение: На числовой прямой точка $a$ (соответствующая нестрогому неравенству) отмечается закрашенной точкой, а точка $b$ (соответствующая строгому) — выколотой. Промежуток между ними заштриховывается.

Ответ: Запись: $ [a; b) $; чтение: "полуинтервал от $a$ до $b$, включая $a$"; изображение: на числовой оси закрашенная точка $a$, выколотая точка $b$ и заштрихованный промежуток между ними.

170. Какие из чисел -6; -5; 0; 2; 4 являются решениями системы неравенств

$$\begin{cases} x - 2 < 0, \\ -2x \le 10? \end{cases}$$

Чтобы определить, какие из предложенных чисел являются решениями системы неравенств, сначала решим саму систему, а затем проверим каждое число.

Исходная система неравенств:

$ \begin{cases} x - 2 < 0, \\ -2x \le 10 \end{cases} $

1. Решение первого неравенства:

$x - 2 < 0$

Перенесем -2 в правую часть, изменив знак:

$x < 2$

2. Решение второго неравенства:

$-2x \le 10$

Разделим обе части неравенства на -2. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $\le$ на $\ge$):

$x \ge \frac{10}{-2}$

$x \ge -5$

3. Нахождение общего решения системы:

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств, то есть все значения $x$, которые одновременно больше или равны -5 и строго меньше 2. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$-5 \le x < 2$

Это соответствует числовому промежутку $[-5; 2)$.

4. Проверка предложенных чисел:

Теперь проверим, какие из чисел $-6; -5; 0; 2; 4$ принадлежат найденному промежутку $[-5; 2)$.

-6: Число -6 не принадлежит промежутку $[-5; 2)$, так как $-6 < -5$. Следовательно, -6 не является решением.

-5: Число -5 принадлежит промежутку $[-5; 2)$, так как $-5 \ge -5$ и $-5 < 2$. Следовательно, -5 является решением.

0: Число 0 принадлежит промежутку $[-5; 2)$, так как $0 \ge -5$ и $0 < 2$. Следовательно, 0 является решением.

2: Число 2 не принадлежит промежутку $[-5; 2)$, так как неравенство $x < 2$ для него не выполняется (2 не меньше 2). Следовательно, 2 не является решением.

4: Число 4 не принадлежит промежутку $[-5; 2)$, так как $4 > 2$. Следовательно, 4 не является решением.

Ответ: -5; 0.

171. Решением какой из систем неравенств является число -3:

1) $\begin{cases} x \geq -3, \\ x \geq 6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x < -4, \\ x < 8; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x > -4, \\ x < 8; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + 1 > -1, \\ x - 2 < 0? \end{cases}$

Чтобы определить, решением какой из систем неравенств является число $-3$, необходимо подставить это значение вместо $x$ в каждую из систем и проверить, выполняются ли все неравенства в системе. Число является решением системы, если оно удовлетворяет каждому неравенству этой системы.

1) Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} x \geq -3, \\ x \geq 6; \end{cases} $
Подставим значение $x = -3$ в оба неравенства:
Первое неравенство: $-3 \geq -3$. Это неравенство верное, так как $-3$ равно $-3$.
Второе неравенство: $-3 \geq 6$. Это неравенство неверное.
Поскольку одно из неравенств не выполняется, число $-3$ не является решением данной системы.
Ответ: число $-3$ не является решением системы.

2) Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} x < -4, \\ x < 8; \end{cases} $
Подставим значение $x = -3$ в первое неравенство:
$-3 < -4$. Это неравенство неверное.
Так как первое неравенство не выполняется, проверять второе нет необходимости. Число $-3$ не является решением данной системы.
Ответ: число $-3$ не является решением системы.

3) Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} x > -4, \\ x < 8; \end{cases} $
Подставим значение $x = -3$ в оба неравенства:
Первое неравенство: $-3 > -4$. Это неравенство верное.
Второе неравенство: $-3 < 8$. Это неравенство также верное.
Поскольку оба неравенства выполняются, число $-3$ является решением данной системы.
Ответ: число $-3$ является решением системы.

4) Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} x + 1 > -1, \\ x - 2 < 0; \end{cases} $
Сначала упростим систему: $ \begin{cases} x > -1 - 1, \\ x < 2; \end{cases} $ $ \begin{cases} x > -2, \\ x < 2; \end{cases} $
Теперь подставим значение $x = -3$ в упрощенную систему.
Первое неравенство: $-3 > -2$. Это неравенство неверное.
Так как первое неравенство не выполняется, число $-3$ не является решением данной системы.
Ответ: число $-3$ не является решением системы.

172. Изобразите на координатной прямой промежуток:

1) $\left(-3; 4\right)$;

2) $\left[-3; 4\right]$;

3) $\left[-3; 4\right)$;

4) $\left(-3; 4\right]$.

1) (-3; 4)

Запись $(-3; 4)$ обозначает открытый числовой промежуток, или интервал. Он включает в себя все действительные числа, которые строго больше -3 и строго меньше 4. Сами числа -3 и 4, называемые концами интервала, в этот промежуток не входят. Круглые скобки указывают на то, что концы интервала не включаются. В виде неравенства этот промежуток записывается как $-3 < x < 4$.
Для изображения на координатной прямой на числовой оси отмечаются точки -3 и 4. Поскольку они не входят в промежуток, мы изображаем их в виде «выколотых» (пустых) точек. Область между этими точками заштриховывается.

Ответ: На координатной прямой отмечаются выколотые точки -3 и 4, а промежуток между ними заштриховывается.

2) [-3; 4]

Запись $[-3; 4]$ обозначает замкнутый числовой промежуток, или отрезок. Он включает в себя все действительные числа, которые больше или равны -3 и меньше или равны 4. Концы отрезка, числа -3 и 4, принадлежат этому промежутку. Квадратные скобки указывают на то, что концы промежутка включаются. В виде неравенства это записывается как $-3 \leq x \leq 4$.
Для изображения на координатной прямой на числовой оси отмечаются точки -3 и 4. Поскольку они входят в промежуток, мы изображаем их в виде закрашенных точек. Область между этими точками заштриховывается.

Ответ: На координатной прямой отмечаются закрашенные точки -3 и 4, а промежуток между ними заштриховывается.

3) [-3; 4)

Запись $[-3; 4)$ обозначает полуинтервал. Он включает в себя все действительные числа, которые больше или равны -3 и строго меньше 4. Левый конец промежутка, число -3, принадлежит ему (квадратная скобка), а правый конец, число 4, — нет (круглая скобка). В виде неравенства это записывается как $-3 \leq x < 4$.
Для изображения на координатной прямой точка -3 отмечается закрашенным кружком, а точка 4 — «выколотым» (пустым) кружком. Область между этими точками заштриховывается.

Ответ: На координатной прямой отмечается закрашенная точка -3 и выколотая точка 4, а промежуток между ними заштриховывается.

4) (-3; 4]

Запись $(-3; 4]$ обозначает полуинтервал. Он включает в себя все действительные числа, которые строго больше -3 и меньше или равны 4. Левый конец промежутка, число -3, не принадлежит ему (круглая скобка), а правый конец, число 4, — принадлежит (квадратная скобка). В виде неравенства это записывается как $-3 < x \leq 4$.
Для изображения на координатной прямой точка -3 отмечается «выколотым» (пустым) кружком, а точка 4 — закрашенным кружком. Область между этими точками заштриховывается.

Ответ: На координатной прямой отмечается выколотая точка -3 и закрашенная точка 4, а промежуток между ними заштриховывается.

173. Изобразите на координатной прямой и запишите промежуток, который задается неравенством:

1) $0 < x < 5$;

2) $\frac{1}{6} < x \leq 2\frac{1}{7}$;

3) $0,2 \leq x < 102$;

4) $-2,4 \leq x \leq -1$.

Неравенство $0 < x < 5$ задает множество всех чисел, которые строго больше 0 и строго меньше 5. Это открытый числовой промежуток (интервал). На координатной прямой этому неравенству соответствует промежуток, ограниченный выколотыми (незакрашенными) точками 0 и 5. Область между этими точками заштриховывается.

Так как неравенство строгое (знаки < и $>$), концы промежутка не включаются во множество решений, и для записи используются круглые скобки.

Ответ: $(0; 5)$

Неравенство $\frac{1}{6} < x \le 2\frac{1}{7}$ задает множество всех чисел, которые строго больше $\frac{1}{6}$ и меньше либо равны $2\frac{1}{7}$. Это числовой промежуток, открытый слева и закрытый справа (полуинтервал). На координатной прямой этому неравенству соответствует промежуток, ограниченный слева выколотой точкой $\frac{1}{6}$ и справа закрашенной точкой $2\frac{1}{7}$. Область между этими точками заштриховывается.

Левая граница не включается в промежуток (знак <), поэтому используется круглая скобка. Правая граница включается (знак $\le$), поэтому используется квадратная скобка.

Ответ: $(\frac{1}{6}; 2\frac{1}{7}]$

Неравенство $0,2 \le x < 102$ задает множество всех чисел, которые больше либо равны 0,2 и строго меньше 102. Это числовой промежуток, закрытый слева и открытый справа (полуинтервал). На координатной прямой этому неравенству соответствует промежуток, ограниченный слева закрашенной точкой 0,2 и справа выколотой точкой 102. Область между этими точками заштриховывается.

Левая граница включается в промежуток (знак $\le$), поэтому используется квадратная скобка. Правая граница не включается (знак <), поэтому используется круглая скобка.

Ответ: $[0,2; 102)$

Неравенство $-2,4 \le x \le -1$ задает множество всех чисел, которые больше либо равны -2,4 и меньше либо равны -1. Это замкнутый числовой промежуток (отрезок). На координатной прямой этому неравенству соответствует промежуток, ограниченный закрашенными точками -2,4 и -1. Область между этими точками заштриховывается.

Так как неравенство нестрогое (знаки $\le$), оба конца промежутка включаются во множество решений, и для записи используются квадратные скобки.

Ответ: $[-2,4; -1]$

174. Запишите все целые числа, принадлежащие промежутку:

1) $ [3; 7]$;

2) $ (2,9; 6]$;

3) $ [-5,2; 1)$;

4) $ (-2; 2)$.

1) Промежуток $[3; 7]$ представляет собой отрезок. Квадратные скобки означают, что концы промежутка, числа 3 и 7, включены в него. Это можно записать в виде двойного неравенства: $3 \le x \le 7$. Нам нужно найти все целые числа $x$, которые удовлетворяют этому условию. Перечислим их: 3, 4, 5, 6, 7.
Ответ: 3, 4, 5, 6, 7.

2) Промежуток $(2,9; 6]$ является полуинтервалом. Круглая скобка у числа 2,9 означает, что оно не входит в промежуток, а квадратная скобка у числа 6 означает, что оно входит. В виде неравенства это записывается как $2,9 < x \le 6$. Найдём все целые числа $x$, удовлетворяющие этому неравенству. Первое целое число, которое больше 2,9, — это 3. Последнее целое число в этом промежутке — это 6, так как оно включено. Таким образом, получаем числа: 3, 4, 5, 6.
Ответ: 3, 4, 5, 6.

3) Промежуток $[-5,2; 1)$ также является полуинтервалом. Число -5,2 включено в промежуток (квадратная скобка), а число 1 не включено (круглая скобка). Неравенство для этого промежутка: $-5,2 \le x < 1$. Ищем целые числа $x$. Наименьшее целое число, которое больше или равно -5,2, — это -5. Наибольшее целое число, которое строго меньше 1, — это 0. Следовательно, в данный промежуток входят целые числа: -5, -4, -3, -2, -1, 0.
Ответ: -5, -4, -3, -2, -1, 0.

4) Промежуток $(-2; 2)$ — это интервал. Круглые скобки означают, что оба конца, -2 и 2, не включены в промежуток. Неравенство для этого случая: $-2 < x < 2$. Нам нужны все целые числа $x$, которые строго больше -2 и строго меньше 2. Такими числами являются: -1, 0, 1.
Ответ: -1, 0, 1.

175. Укажите наименьшее и наибольшее целые числа, принадлежащие промежутку:

1) $ [-12; -6] $;

2) $ (5; 11] $;

3) $ (-10,8; 1,6] $;

4) $ [-7,8; -2,9] $.

1) [-12; -6]

Данный промежуток является отрезком, так как скобки квадратные. Это означает, что концы промежутка, числа -12 и -6, принадлежат этому промежутку. Нам нужно найти наименьшее и наибольшее целые числа $x$, которые удовлетворяют неравенству: $-12 \le x \le -6$.

Целые числа, входящие в этот промежуток: -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6.

Среди этих чисел наименьшим является -12, а наибольшим — -6.

Ответ: наименьшее число: -12, наибольшее число: -6.

2) (5; 11]

Данный промежуток является полуинтервалом. Круглая скобка слева означает, что число 5 не принадлежит промежутку, а квадратная скобка справа означает, что число 11 принадлежит промежутку. Мы ищем целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству: $5 < x \le 11$.

Первое целое число, которое больше 5, — это 6. Последнее целое число, которое не больше 11, — это 11. Целые числа, входящие в этот промежуток: 6, 7, 8, 9, 10, 11.

Среди этих чисел наименьшим является 6, а наибольшим — 11.

Ответ: наименьшее число: 6, наибольшее число: 11.

3) (-10,8; 1,6]

Данный промежуток является полуинтервалом. Число -10,8 не входит в промежуток, а число 1,6 входит. Мы ищем целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству: $-10,8 < x \le 1,6$.

Наименьшее целое число, которое больше -10,8, — это -10. Наибольшее целое число, которое меньше или равно 1,6, — это 1.

Таким образом, наименьшее целое число в промежутке — это -10, а наибольшее — это 1.

Ответ: наименьшее число: -10, наибольшее число: 1.

4) [-7,8; -2,9]

Данный промежуток является отрезком, так как обе скобки квадратные. Это означает, что концы промежутка, числа -7,8 и -2,9, принадлежат этому промежутку. Мы ищем целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству: $-7,8 \le x \le -2,9$.

Наименьшее целое число, которое больше или равно -7,8, — это -7. Наибольшее целое число, которое меньше или равно -2,9, — это -3.

Целые числа, входящие в этот промежуток: -7, -6, -5, -4, -3.

Среди этих чисел наименьшим является -7, а наибольшим — -3.

Ответ: наименьшее число: -7, наибольшее число: -3.

176. Изобразите на координатной прямой и запишите пересечение промежутков:

1) $ [-1; 7] $ и $ [4; 9]; $

2) $ [3; 6] $ и $ (3; 8); $

3) $ (-\infty; 3,4) $ и $ (2,5; +\infty); $

4) $ (-\infty; 2,6) $ и $ (2,8; +\infty); $

5) $ [9; +\infty) $ и $ [11,5; +\infty); $

6) $ (-\infty; -4,2] $ и $ (-\infty; -1,3). $

1) $[-1; 7]$ и $[4; 9]$

Изобразим на координатной прямой оба промежутка. Первый промежуток $ [-1; 7] $ — это все числа от -1 до 7, включая концы. На прямой это отрезок, ограниченный закрашенными точками. Второй промежуток $ [4; 9] $ — это все числа от 4 до 9, также включая концы. Изобразим его штриховкой под прямой.

Пересечением (общей частью) этих двух промежутков является промежуток, где обе штриховки совпадают. Это область от 4 до 7. Так как точки 4 и 7 принадлежат обоим исходным промежуткам (обозначены закрашенными кружками), они входят в пересечение. Таким образом, искомый промежуток — $ [4; 7] $.

Ответ: $ [4; 7] $

2) $[3; 6]$ и $(3; 8)$

Первый промежуток $ [3; 6] $ включает все числа от 3 до 6 включительно (закрашенные точки). Второй промежуток $ (3; 8) $ включает все числа между 3 и 8, не включая сами концы (выколотые, или пустые, точки).

Общей частью является промежуток от 3 до 6. Число 3 не входит в пересечение, так как оно не принадлежит второму промежутку (точка выколота). Число 6 входит в пересечение, так как оно принадлежит обоим промежуткам. Следовательно, пересечение — это полуинтервал $ (3; 6] $.

Ответ: $ (3; 6] $

3) $(-\infty; 3,4)$ и $(2,5; +\infty)$

Первый промежуток $ (-\infty; 3,4) $ — это все числа, которые меньше 3,4 (луч, идущий влево от выколотой точки 3,4). Второй промежуток $ (2,5; +\infty) $ — это все числа, которые больше 2,5 (луч, идущий вправо от выколотой точки 2,5).

Пересечение — это область, где оба луча совпадают. Это все числа, которые одновременно больше 2,5 и меньше 3,4. Концевые точки 2,5 и 3,4 не входят в пересечение, так как они не принадлежат одному из исходных промежутков. Таким образом, пересечением является интервал $ (2,5; 3,4) $.

Ответ: $ (2,5; 3,4) $

4) $(-\infty; 2,6)$ и $(2,8; +\infty)$

Первый промежуток $ (-\infty; 2,6) $ — это все числа, меньшие 2,6. Второй промежуток $ (2,8; +\infty) $ — это все числа, большие 2,8. Обе точки, 2,6 и 2,8, являются выколотыми.

Как видно из изображения, эти два промежутка не имеют общих точек, они не пересекаются. Нет такого числа, которое было бы одновременно меньше 2,6 и больше 2,8. Следовательно, их пересечение — пустое множество.

Ответ: $ \emptyset $

5) $[9; +\infty)$ и $[11,5; +\infty)$

Первый промежуток $ [9; +\infty) $ — это все числа, которые больше или равны 9. Второй промежуток $ [11,5; +\infty) $ — это все числа, большие или равные 11,5. Обе точки, 9 и 11,5, включены в свои промежутки (закрашенные).

Общая часть этих двух лучей начинается в точке 11,5 и продолжается вправо до бесконечности. Все числа, которые больше или равны 11,5, также больше или равны 9. Таким образом, пересечением является промежуток $ [11,5; +\infty) $.

Ответ: $ [11,5; +\infty) $

6) $(-\infty; -4,2]$ и $(-\infty; -1,3)$

Первый промежуток $ (-\infty; -4,2] $ — это все числа, которые меньше или равны -4,2 (точка -4,2 закрашена). Второй промежуток $ (-\infty; -1,3) $ — это все числа, которые строго меньше -1,3 (точка -1,3 выколота).

Так как $ -4,2 < -1,3 $, то любое число, которое меньше или равно -4,2, автоматически является и меньше -1,3. Это означает, что первый промежуток полностью содержится во втором. Следовательно, их пересечением будет сам первый промежуток.

Ответ: $ (-\infty; -4,2] $