Страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

135. Найдите множество решений неравенства:

1) $3(4x + 9) + 5 > 7(8 - x);$

2) $(2 - y)(3 + y) \leq (4 + y)(6 - y);$

3) $(y + 3)(y - 5) - (y - 1)^2 > -16;$

4) $\frac{3x - 7}{5} - 1 \geq \frac{2x - 6}{3};$

5) $\frac{2x}{3} - \frac{x - 1}{6} - \frac{x + 2}{2} < 0;$

6) $\frac{y - 1}{2} - \frac{2y + 1}{8} - y < 2.$

1) $3(4x + 9) + 5 > 7(8 - x)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$12x + 27 + 5 > 56 - 7x$

Приведем подобные слагаемые:

$12x + 32 > 56 - 7x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую, изменив их знаки на противоположные:

$12x + 7x > 56 - 32$

Снова приведем подобные слагаемые:

$19x > 24$

Разделим обе части неравенства на 19:

$x > \frac{24}{19}$

Ответ: $x \in (\frac{24}{19}; +\infty)$

2) $(2 - y)(3 + y) \le (4 + y)(6 - y)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$6 + 2y - 3y - y^2 \le 24 - 4y + 6y - y^2$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$6 - y - y^2 \le 24 + 2y - y^2$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а постоянные — в правую. Члены $-y^2$ взаимно уничтожатся.

$-y - 2y \le 24 - 6$

Приведем подобные слагаемые:

$-3y \le 18$

Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства на противоположный:

$y \ge \frac{18}{-3}$

$y \ge -6$

Ответ: $y \in [-6; +\infty)$

3) $(y + 3)(y - 5) - (y - 1)^2 > -16$

Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов и формулу квадрата разности:

$(y^2 - 5y + 3y - 15) - (y^2 - 2y + 1) > -16$

Приведем подобные слагаемые в первых скобках и раскроем вторые скобки, меняя знаки:

$y^2 - 2y - 15 - y^2 + 2y - 1 > -16$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(y^2 - y^2) + (-2y + 2y) + (-15 - 1) > -16$

$-16 > -16$

Получили неверное числовое неравенство. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет)

4) $\frac{3x - 7}{5} - 1 \ge \frac{2x - 6}{3}$

Приведем левую часть к общему знаменателю 5:

$\frac{3x - 7 - 5}{5} \ge \frac{2x - 6}{3}$

$\frac{3x - 12}{5} \ge \frac{2x - 6}{3}$

Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (5 и 3), то есть на 15, чтобы избавиться от дробей:

$15 \cdot \frac{3x - 12}{5} \ge 15 \cdot \frac{2x - 6}{3}$

$3(3x - 12) \ge 5(2x - 6)$

Раскроем скобки:

$9x - 36 \ge 10x - 30$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$9x - 10x \ge -30 + 36$

$-x \ge 6$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le -6$

Ответ: $x \in (-\infty; -6]$

5) $\frac{2x}{3} - \frac{x - 1}{6} - \frac{x + 2}{2} < 0$

Найдем наименьший общий знаменатель дробей (3, 6 и 2), который равен 6. Умножим все члены неравенства на 6:

$6 \cdot \frac{2x}{3} - 6 \cdot \frac{x - 1}{6} - 6 \cdot \frac{x + 2}{2} < 6 \cdot 0$

$2(2x) - 1(x - 1) - 3(x + 2) < 0$

Раскроем скобки:

$4x - x + 1 - 3x - 6 < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(4x - x - 3x) + (1 - 6) < 0$

$0 \cdot x - 5 < 0$

$-5 < 0$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство верно при любом значении $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

6) $\frac{y - 1}{2} - \frac{2y + 1}{8} - y < 2$

Найдем наименьший общий знаменатель (2 и 8), который равен 8. Умножим все члены неравенства на 8:

$8 \cdot \frac{y - 1}{2} - 8 \cdot \frac{2y + 1}{8} - 8 \cdot y < 8 \cdot 2$

$4(y - 1) - 1(2y + 1) - 8y < 16$

Раскроем скобки:

$4y - 4 - 2y - 1 - 8y < 16$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(4y - 2y - 8y) + (-4 - 1) < 16$

$-6y - 5 < 16$

Перенесем -5 в правую часть:

$-6y < 16 + 5$

$-6y < 21$

Разделим обе части на -6, изменив знак неравенства на противоположный:

$y > \frac{21}{-6}$

Сократим дробь:

$y > -\frac{7}{2}$

Ответ: $y \in (-\frac{7}{2}; +\infty)$

136. Найдите наибольшее целое решение неравенства:

1) $7(x+2) - 3(x-8) < 10;$

2) $(x-4)(x+4) - 5x > (x-1)^2 - 17.$

1) $7(x + 2) - 3(x - 8) < 10$

Для решения данного неравенства сначала раскроем скобки:

$7 \cdot x + 7 \cdot 2 - 3 \cdot x - 3 \cdot (-8) < 10$

$7x + 14 - 3x + 24 < 10$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:

$(7x - 3x) + (14 + 24) < 10$

$4x + 38 < 10$

Перенесем число 38 в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный:

$4x < 10 - 38$

$4x < -28$

Разделим обе части неравенства на 4. Поскольку мы делим на положительное число, знак неравенства сохраняется:

$x < \frac{-28}{4}$

$x < -7$

Мы ищем наибольшее целое решение. Неравенству $x < -7$ удовлетворяют целые числа ..., -10, -9, -8. Самым большим из них является -8.

Ответ: -8

2) $(x - 4)(x + 4) - 5x > (x - 1)^2 - 17$

Для решения этого неравенства раскроем скобки в обеих частях. В левой части применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, а в правой части — формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x^2 - 4^2) - 5x > (x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 17$

$x^2 - 16 - 5x > x^2 - 2x + 1 - 17$

Упростим правую часть неравенства:

$x^2 - 5x - 16 > x^2 - 2x - 16$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены в другую. Члены $x^2$ и $-16$ есть в обеих частях, поэтому при переносе они взаимно уничтожатся.

$x^2 - x^2 - 5x + 2x > -16 + 16$

$-3x > 0$

Разделим обе части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{0}{-3}$

$x < 0$

Мы ищем наибольшее целое решение. Неравенству $x < 0$ удовлетворяют целые числа ..., -3, -2, -1. Наибольшим из этих целых чисел является -1.

Ответ: -1

137. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

1) $\frac{4x + 13}{10} - \frac{5 + 2x}{4} > \frac{6 - 7x}{20} - 2;$

2) $(x - 1)(x + 1) - (x - 4)(x + 2) \geq 0.$

1) Исходное неравенство:

$$ \frac{4x + 13}{10} - \frac{5 + 2x}{4} > \frac{6 - 7x}{20} - 2 $$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 10, 4 и 20. Наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел равно 20.

$$ 20 \cdot \left( \frac{4x + 13}{10} - \frac{5 + 2x}{4} \right) > 20 \cdot \left( \frac{6 - 7x}{20} - 2 \right) $$

$$ \frac{20(4x + 13)}{10} - \frac{20(5 + 2x)}{4} > \frac{20(6 - 7x)}{20} - 20 \cdot 2 $$

Сокращаем дроби:

$$ 2(4x + 13) - 5(5 + 2x) > 1(6 - 7x) - 40 $$

Раскрываем скобки:

$$ 8x + 26 - 25 - 10x > 6 - 7x - 40 $$

Приводим подобные слагаемые в каждой части неравенства:

$$ -2x + 1 > -34 - 7x $$

Переносим слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки на противоположные:

$$ -2x + 7x > -34 - 1 $$

$$ 5x > -35 $$

Разделим обе части на 5 (знак неравенства не меняется, так как 5 > 0):

$$ x > -7 $$

Неравенству удовлетворяют все числа, которые строго больше -7. Нам нужно найти наименьшее целое решение. Первое целое число, которое больше -7, это -6.

Ответ: -6.

2) Исходное неравенство:

$$ (x - 1)(x + 1) - (x - 4)(x + 2) \ge 0 $$

Раскроем скобки. Первое произведение является формулой разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $. Второе произведение раскроем по правилу умножения многочленов.

$$ (x^2 - 1^2) - (x^2 + 2x - 4x - 8) \ge 0 $$

$$ (x^2 - 1) - (x^2 - 2x - 8) \ge 0 $$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки слагаемых внутри на противоположные, так как перед скобкой стоит знак минус:

$$ x^2 - 1 - x^2 + 2x + 8 \ge 0 $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ (x^2 - x^2) + 2x + (-1 + 8) \ge 0 $$

$$ 2x + 7 \ge 0 $$

Решим полученное линейное неравенство:

$$ 2x \ge -7 $$

$$ x \ge -\frac{7}{2} $$

$$ x \ge -3.5 $$

Неравенству удовлетворяют все числа, которые больше или равны -3.5. Нам нужно найти наименьшее целое решение. Первое целое число, которое больше или равно -3.5, это -3.

Ответ: -3.

138. Сколько целых отрицательных решений имеет неравенство

$x - \frac{x+7}{4} - \frac{11x+30}{12} < \frac{x-5}{3}$

Чтобы решить данное неравенство и найти количество его целых отрицательных решений, выполним следующие шаги.

Исходное неравенство:

$x - \frac{x+7}{4} - \frac{11x+30}{12} < \frac{x-5}{3}$

1. Приведение к общему знаменателю.
Найдем наименьший общий знаменатель для дробей в неравенстве. Знаменатели равны 4, 12 и 3. Наименьшее общее кратное (НОК) для этих чисел равно 12. Умножим обе части неравенства на 12, чтобы избавиться от дробей.

$12 \cdot x - 12 \cdot \frac{x+7}{4} - 12 \cdot \frac{11x+30}{12} < 12 \cdot \frac{x-5}{3}$

2. Упрощение неравенства.
Выполним умножение и сократим дроби:

$12x - 3(x+7) - 1(11x+30) < 4(x-5)$

Теперь раскроем скобки. Обратите внимание на знаки: минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее.

$12x - 3x - 21 - 11x - 30 < 4x - 20$

3. Приведение подобных слагаемых.
Сгруппируем и сложим подобные слагаемые в левой части неравенства:

$(12x - 3x - 11x) + (-21 - 30) < 4x - 20$

$-2x - 51 < 4x - 20$

4. Решение линейного неравенства.
Перенесем все слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые — в другую. Чтобы коэффициент при $x$ был положительным, перенесем $-2x$ вправо, а $-20$ влево.

$-51 + 20 < 4x + 2x$

$-31 < 6x$

Разделим обе части на 6. Знак неравенства при делении на положительное число не меняется.

$x > -\frac{31}{6}$

5. Поиск целых отрицательных решений.
Мы получили, что $x$ должен быть больше, чем $-\frac{31}{6}$. Преобразуем эту дробь в смешанное число для наглядности:

$-\frac{31}{6} = -5\frac{1}{6}$

Таким образом, решение неравенства: $x > -5\frac{1}{6}$.

Нам нужно найти все целые отрицательные числа, которые удовлетворяют этому условию. Это целые числа, которые больше $-5\frac{1}{6}$ и меньше 0. Перечислим их:

-5, -4, -3, -2, -1.

Подсчитаем их количество: всего 5 чисел.

Ответ: 5

139. Сколько натуральных решений имеет неравенство $ \frac{2-3x}{4} \ge \frac{1}{5} - \frac{5x+6}{8} $?

Для решения неравенства $\frac{2-3x}{4} \ge \frac{1}{5} - \frac{5x+6}{8}$ и нахождения количества его натуральных решений, выполним следующие действия.

Сначала приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 4, 5 и 8 равно 40. Умножим обе части неравенства на 40. Так как 40 является положительным числом, знак неравенства при этом не меняется.
$40 \cdot \frac{2-3x}{4} \ge 40 \cdot \left(\frac{1}{5} - \frac{5x+6}{8}\right)$
$10(2-3x) \ge 40 \cdot \frac{1}{5} - 40 \cdot \frac{5x+6}{8}$
$10(2-3x) \ge 8 - 5(5x+6)$

Далее раскроем скобки и упростим полученное выражение:
$20 - 30x \ge 8 - 25x - 30$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$20 - 30x \ge -22 - 25x$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части неравенства, а постоянные члены — в правой. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.
$-30x + 25x \ge -22 - 20$
$-5x \ge -42$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -5. При делении или умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (в данном случае, "$\ge$" на "$\le$").
$x \le \frac{-42}{-5}$
$x \le \frac{42}{5}$
Для удобства преобразуем неправильную дробь в десятичную:
$x \le 8.4$

В задаче требуется найти количество натуральных решений. Натуральными числами являются целые положительные числа (1, 2, 3, ...). Нам нужно найти все натуральные числа $x$, которые удовлетворяют условию $x \le 8.4$.
Такими числами являются: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Подсчитав их, получаем, что всего 8 натуральных решений.
Ответ: 8

140. При каких значениях $x$ верно равенство:

1) $|x-5| = x-5$;

2) $|2x+14| = -2x-14?$

1)

Дано равенство: $|x - 5| = x - 5$.

По определению модуля (абсолютной величины), равенство $|a| = a$ выполняется в том и только в том случае, когда выражение, стоящее под знаком модуля, является неотрицательным, то есть $a \ge 0$.

В данном уравнении в качестве выражения $a$ выступает $x - 5$.

Следовательно, исходное равенство будет верным при выполнении условия:

$x - 5 \ge 0$

Чтобы решить это неравенство, перенесем 5 в правую часть, изменив знак:

$x \ge 5$

Это означает, что равенство верно для всех значений $x$, которые больше или равны 5.

Ответ: $x \ge 5$ (или в виде промежутка $x \in [5; +\infty)$).

2)

Дано равенство: $|2x + 14| = -2x - 14$.

Заметим, что правую часть равенства можно переписать, вынеся знак минус за скобки: $-2x - 14 = -(2x + 14)$.

Тогда исходное равенство принимает вид: $|2x + 14| = -(2x + 14)$.

По определению модуля, равенство $|a| = -a$ выполняется в том и только в том случае, когда выражение, стоящее под знаком модуля, является неположительным, то есть $a \le 0$.

В данном уравнении в качестве выражения $a$ выступает $2x + 14$.

Следовательно, исходное равенство будет верным при выполнении условия:

$2x + 14 \le 0$

Решим это линейное неравенство. Перенесем 14 в правую часть:

$2x \le -14$

Разделим обе части неравенства на 2 (так как 2 > 0, знак неравенства не меняется):

$x \le -7$

Это означает, что равенство верно для всех значений $x$, которые меньше или равны -7.

Ответ: $x \le -7$ (или в виде промежутка $x \in (-\infty; -7]$).

141. При каких значениях y верно равенство:

1) $\frac{|y+7|}{y+7} = 1$;

2) $\frac{|6-y|}{y-6} = 1?$

1)

Рассмотрим равенство $\frac{|y+7|}{y+7} = 1$.

Это равенство имеет смысл только при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $y+7 \neq 0$, откуда $y \neq -7$.

Дробь вида $\frac{|a|}{a}$ равна 1 только в том случае, когда выражение под знаком модуля положительно, то есть $a > 0$. В нашем случае $a = y+7$.

Следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы выполнялось неравенство:

$y+7 > 0$

Решая это неравенство, получаем:

$y > -7$

Таким образом, равенство верно для всех значений $y$, которые больше -7.

Ответ: $y \in (-7; +\infty)$.

2)

Рассмотрим равенство $\frac{|6-y|}{y-6} = 1$.

Область допустимых значений определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $y-6 \neq 0$, откуда $y \neq 6$.

Воспользуемся свойством модуля $|a| = |-a|$. В нашем случае $|6-y| = |-(y-6)| = |y-6|$.

Подставим это в исходное равенство:

$\frac{|y-6|}{y-6} = 1$

Как и в предыдущем пункте, это равенство выполняется только тогда, когда выражение под знаком модуля строго положительно.

$y-6 > 0$

Решая неравенство, находим:

$y > 6$

Таким образом, равенство верно для всех значений $y$, которые больше 6.

Ответ: $y \in (6; +\infty)$.

142. При каких значениях $a$ уравнение:

1) $x^2 + 3x - a = 0$ не имеет корней;

2) $2x^2 - 8x + 5a = 0$ имеет хотя бы один действительный корень?

1) Квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ строго меньше нуля ($D < 0$). Дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$.
Для данного уравнения $x^2 + 3x - a = 0$ коэффициенты равны: $A=1$, $B=3$, $C=-a$.
Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 9 + 4a$.
Условие отсутствия корней: $D < 0$
$9 + 4a < 0$
$4a < -9$
$a < -\frac{9}{4}$
$a < -2,25$
Ответ: при $a \in (-\infty; -2,25)$.

2) Квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ имеет хотя бы один действительный корень (один или два), если его дискриминант $D$ больше или равен нулю ($D \ge 0$).
Для данного уравнения $2x^2 - 8x + 5a = 0$ коэффициенты равны: $A=2$, $B=-8$, $C=5a$.
Найдем дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (5a) = 64 - 40a$.
Условие наличия хотя бы одного корня: $D \ge 0$
$64 - 40a \ge 0$
$64 \ge 40a$
$a \le \frac{64}{40}$
Сократим дробь: $a \le \frac{8}{5}$
$a \le 1,6$
Ответ: при $a \in (-\infty; 1,6]$.

143. При каких значениях $b$ уравнение:

1) $3x^2 - 6x + b = 0$ имеет два различных действительных корня;

2) $x^2 - x - 2b = 0$ не имеет корней?

1)

Квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$ имеет два различных действительных корня, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля ($D > 0$). Дискриминант вычисляется по формуле $D=b^2-4ac$.

В уравнении $3x^2 - 6x + b = 0$ коэффициенты следующие: $a = 3$, $b = -6$, $c = b$.

Вычислим дискриминант для этого уравнения: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot b = 36 - 12b$.

Условие наличия двух различных действительных корней — это $D > 0$. Составим и решим неравенство: $36 - 12b > 0$

Перенесем $12b$ в правую часть: $36 > 12b$

Разделим обе части на 12: $3 > b$, что то же самое, что $b < 3$.

Ответ: при $b < 3$.

2)

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, когда его дискриминант $D$ меньше нуля ($D < 0$).

В уравнении $x^2 - x - 2b = 0$ коэффициенты следующие: $a = 1$, $b = -1$, $c = -2b$.

Вычислим дискриминант для этого уравнения: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2b) = 1 + 8b$.

Условие отсутствия корней — это $D < 0$. Составим и решим неравенство: $1 + 8b < 0$

Перенесем 1 в правую часть: $8b < -1$

Разделим обе части на 8: $b < -\frac{1}{8}$

Ответ: при $b < -\frac{1}{8}$.

144. Турист проплыл на лодке некоторое расстояние по течению реки, а потом вернулся обратно, потратив на всё путешествие не более пяти часов. Скорость лодки в стоячей воде равна $5 \text{ км/ч}$, а скорость течения – $1 \text{ км/ч}$. Какое наибольшее расстояние мог проплыть турист по течению реки?

Для решения задачи необходимо определить скорости движения лодки по течению и против течения, выразить через искомое расстояние время, затраченное на каждый участок пути, и составить неравенство, исходя из общего времени путешествия.

Пусть $S$ — это искомое наибольшее расстояние (в км), которое турист мог проплыть по течению реки.

1. Вычисление скоростей движения.
Скорость лодки в стоячей воде составляет $v_{л} = 5$ км/ч.
Скорость течения реки составляет $v_{т} = 1$ км/ч.
Скорость лодки по течению реки равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения:
$v_{по~теч.} = v_{л} + v_{т} = 5 + 1 = 6$ км/ч.
Скорость лодки против течения реки равна разности собственной скорости лодки и скорости течения:
$v_{против~теч.} = v_{л} - v_{т} = 5 - 1 = 4$ км/ч.

2. Выражение времени через расстояние.
Время, затраченное на путь по течению, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$:
$t_{по~теч.} = \frac{S}{6}$ ч.
Время, затраченное на обратный путь (против течения), на то же расстояние $S$:
$t_{против~теч.} = \frac{S}{4}$ ч.

3. Составление и решение неравенства.
Общее время путешествия $t_{общ}$ равно сумме времени движения по течению и против течения. По условию, оно не должно превышать 5 часов:
$t_{общ} = t_{по~теч.} + t_{против~теч.} \le 5$
Подставим выражения для времени:
$\frac{S}{6} + \frac{S}{4} \le 5$
Для решения неравенства приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 4 — это 12.
$\frac{2S}{12} + \frac{3S}{12} \le 5$
$\frac{5S}{12} \le 5$
Теперь выразим $S$. Умножим обе части неравенства на 12:
$5S \le 5 \cdot 12$
$5S \le 60$
Разделим обе части на 5:
$S \le \frac{60}{5}$
$S \le 12$

Неравенство $S \le 12$ показывает, что расстояние, которое мог проплыть турист по течению, не может быть больше 12 км. Следовательно, наибольшее такое расстояние равно 12 км.

Ответ: 12 км.

145. Берут четыре последовательных целых числа и составляют разность произведений крайних и средних чисел. Существуют ли такие четыре последовательных целых числа, для которых эта разность больше нуля?

Пусть четыре последовательных целых числа равны $n$, $n+1$, $n+2$ и $n+3$, где $n$ — произвольное целое число.

Крайними числами в этой последовательности являются $n$ и $n+3$. Их произведение равно:
$n \cdot (n+3) = n^2 + 3n$

Средними числами являются $n+1$ и $n+2$. Их произведение равно:
$(n+1) \cdot (n+2) = n^2 + 2n + n + 2 = n^2 + 3n + 2$

Теперь составим разность произведений крайних и средних чисел. Обозначим эту разность буквой $D$:
$D = (\text{произведение крайних чисел}) - (\text{произведение средних чисел})$
$D = (n^2 + 3n) - (n^2 + 3n + 2)$
$D = n^2 + 3n - n^2 - 3n - 2$
$D = -2$

Мы получили, что для любой четверки последовательных целых чисел разность произведений крайних и средних чисел всегда равна константе $-2$.

В задаче спрашивается, существуют ли такие числа, для которых эта разность больше нуля, то есть выполняется ли неравенство $D > 0$.
Неравенство $-2 > 0$ является ложным. Следовательно, таких четырех последовательных целых чисел, для которых указанная разность была бы больше нуля, не существует.

Ответ: Нет, не существуют.