Номер 136, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

136. Найдите наибольшее целое решение неравенства:

1) $7(x+2) - 3(x-8) < 10;$

2) $(x-4)(x+4) - 5x > (x-1)^2 - 17.$

1) $7(x + 2) - 3(x - 8) < 10$

Для решения данного неравенства сначала раскроем скобки:

$7 \cdot x + 7 \cdot 2 - 3 \cdot x - 3 \cdot (-8) < 10$

$7x + 14 - 3x + 24 < 10$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:

$(7x - 3x) + (14 + 24) < 10$

$4x + 38 < 10$

Перенесем число 38 в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный:

$4x < 10 - 38$

$4x < -28$

Разделим обе части неравенства на 4. Поскольку мы делим на положительное число, знак неравенства сохраняется:

$x < \frac{-28}{4}$

$x < -7$

Мы ищем наибольшее целое решение. Неравенству $x < -7$ удовлетворяют целые числа ..., -10, -9, -8. Самым большим из них является -8.

Ответ: -8

2) $(x - 4)(x + 4) - 5x > (x - 1)^2 - 17$

Для решения этого неравенства раскроем скобки в обеих частях. В левой части применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, а в правой части — формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x^2 - 4^2) - 5x > (x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 17$

$x^2 - 16 - 5x > x^2 - 2x + 1 - 17$

Упростим правую часть неравенства:

$x^2 - 5x - 16 > x^2 - 2x - 16$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены в другую. Члены $x^2$ и $-16$ есть в обеих частях, поэтому при переносе они взаимно уничтожатся.

$x^2 - x^2 - 5x + 2x > -16 + 16$

$-3x > 0$

Разделим обе части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{0}{-3}$

$x < 0$

Мы ищем наибольшее целое решение. Неравенству $x < 0$ удовлетворяют целые числа ..., -3, -2, -1. Наибольшим из этих целых чисел является -1.

Ответ: -1