Номер 138, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

138. Сколько целых отрицательных решений имеет неравенство

$x - \frac{x+7}{4} - \frac{11x+30}{12} < \frac{x-5}{3}$

Чтобы решить данное неравенство и найти количество его целых отрицательных решений, выполним следующие шаги.

Исходное неравенство:

$x - \frac{x+7}{4} - \frac{11x+30}{12} < \frac{x-5}{3}$

1. Приведение к общему знаменателю.
Найдем наименьший общий знаменатель для дробей в неравенстве. Знаменатели равны 4, 12 и 3. Наименьшее общее кратное (НОК) для этих чисел равно 12. Умножим обе части неравенства на 12, чтобы избавиться от дробей.

$12 \cdot x - 12 \cdot \frac{x+7}{4} - 12 \cdot \frac{11x+30}{12} < 12 \cdot \frac{x-5}{3}$

2. Упрощение неравенства.
Выполним умножение и сократим дроби:

$12x - 3(x+7) - 1(11x+30) < 4(x-5)$

Теперь раскроем скобки. Обратите внимание на знаки: минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее.

$12x - 3x - 21 - 11x - 30 < 4x - 20$

3. Приведение подобных слагаемых.
Сгруппируем и сложим подобные слагаемые в левой части неравенства:

$(12x - 3x - 11x) + (-21 - 30) < 4x - 20$

$-2x - 51 < 4x - 20$

4. Решение линейного неравенства.
Перенесем все слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые — в другую. Чтобы коэффициент при $x$ был положительным, перенесем $-2x$ вправо, а $-20$ влево.

$-51 + 20 < 4x + 2x$

$-31 < 6x$

Разделим обе части на 6. Знак неравенства при делении на положительное число не меняется.

$x > -\frac{31}{6}$

5. Поиск целых отрицательных решений.
Мы получили, что $x$ должен быть больше, чем $-\frac{31}{6}$. Преобразуем эту дробь в смешанное число для наглядности:

$-\frac{31}{6} = -5\frac{1}{6}$

Таким образом, решение неравенства: $x > -5\frac{1}{6}$.

Нам нужно найти все целые отрицательные числа, которые удовлетворяют этому условию. Это целые числа, которые больше $-5\frac{1}{6}$ и меньше 0. Перечислим их:

-5, -4, -3, -2, -1.

Подсчитаем их количество: всего 5 чисел.

Ответ: 5