Номер 139, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

139. Сколько натуральных решений имеет неравенство $ \frac{2-3x}{4} \ge \frac{1}{5} - \frac{5x+6}{8} $?

Для решения неравенства $\frac{2-3x}{4} \ge \frac{1}{5} - \frac{5x+6}{8}$ и нахождения количества его натуральных решений, выполним следующие действия.

Сначала приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 4, 5 и 8 равно 40. Умножим обе части неравенства на 40. Так как 40 является положительным числом, знак неравенства при этом не меняется.
$40 \cdot \frac{2-3x}{4} \ge 40 \cdot \left(\frac{1}{5} - \frac{5x+6}{8}\right)$
$10(2-3x) \ge 40 \cdot \frac{1}{5} - 40 \cdot \frac{5x+6}{8}$
$10(2-3x) \ge 8 - 5(5x+6)$

Далее раскроем скобки и упростим полученное выражение:
$20 - 30x \ge 8 - 25x - 30$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$20 - 30x \ge -22 - 25x$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части неравенства, а постоянные члены — в правой. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.
$-30x + 25x \ge -22 - 20$
$-5x \ge -42$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -5. При делении или умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (в данном случае, "$\ge$" на "$\le$").
$x \le \frac{-42}{-5}$
$x \le \frac{42}{5}$
Для удобства преобразуем неправильную дробь в десятичную:
$x \le 8.4$

В задаче требуется найти количество натуральных решений. Натуральными числами являются целые положительные числа (1, 2, 3, ...). Нам нужно найти все натуральные числа $x$, которые удовлетворяют условию $x \le 8.4$.
Такими числами являются: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Подсчитав их, получаем, что всего 8 натуральных решений.
Ответ: 8