Номер 132, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

132. Решите неравенство:

1) $\frac{4x}{3} + \frac{x}{2} < 11;$

2) $\frac{2x}{3} - \frac{3x}{4} \geq \frac{1}{6};$

3) $\frac{5x}{7} - x > -4;$

4) $\frac{x}{8} - \frac{1}{4} \leq x.$

1) $\frac{4x}{3} + \frac{x}{2} < 11$

Для решения этого неравенства сначала избавимся от дробей. Для этого найдем наименьший общий знаменатель для дробей в левой части. Знаменатели равны 3 и 2, их наименьшее общее кратное (НОК) равно 6.

Умножим обе части неравенства на 6. Так как 6 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$6 \cdot \left(\frac{4x}{3} + \frac{x}{2}\right) < 6 \cdot 11$

Раскроем скобки:

$\frac{6 \cdot 4x}{3} + \frac{6 \cdot x}{2} < 66$

$2 \cdot 4x + 3 \cdot x < 66$

Упростим выражение в левой части:

$8x + 3x < 66$

$11x < 66$

Теперь разделим обе части неравенства на 11. Так как 11 > 0, знак неравенства сохраняется.

$x < \frac{66}{11}$

$x < 6$

Решением является множество всех чисел, меньших 6. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 6)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 6)$.

2) $\frac{2x}{3} - \frac{3x}{4} \ge \frac{1}{6}$

Найдем наименьший общий знаменатель для дробей со знаменателями 3, 4 и 6. НОК(3, 4, 6) = 12.

Умножим обе части неравенства на 12. Знак неравенства не меняется, так как 12 > 0.

$12 \cdot \left(\frac{2x}{3} - \frac{3x}{4}\right) \ge 12 \cdot \frac{1}{6}$

$\frac{12 \cdot 2x}{3} - \frac{12 \cdot 3x}{4} \ge \frac{12}{6}$

$4 \cdot 2x - 3 \cdot 3x \ge 2$

Упростим левую часть:

$8x - 9x \ge 2$

$-x \ge 2$

Чтобы найти $x$, умножим (или разделим) обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный ( $\ge$ на $\le$ ).

$x \le -2$

Решением является множество всех чисел, меньших или равных -2. В виде интервала это записывается как $(-\infty; -2]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2]$.

3) $\frac{5x}{7} - x > -4$

Сначала приведем члены с $x$ в левой части к общему знаменателю. Представим $x$ как $\frac{7x}{7}$.

$\frac{5x}{7} - \frac{7x}{7} > -4$

$\frac{5x - 7x}{7} > -4$

$\frac{-2x}{7} > -4$

Умножим обе части неравенства на 7, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства не меняется.

$-2x > -4 \cdot 7$

$-2x > -28$

Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный ( $>$ на < ).

$x < \frac{-28}{-2}$

$x < 14$

Решением является множество всех чисел, меньших 14. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 14)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 14)$.

4) $\frac{x}{8} - \frac{1}{4} \le x$

Сгруппируем члены, содержащие $x$, в одной части неравенства, а константы — в другой. Перенесем $\frac{x}{8}$ в правую часть, а $x$ в левую. Или, проще, перенесем $\frac{x}{8}$ в правую часть.

$-\frac{1}{4} \le x - \frac{x}{8}$

Приведем подобные слагаемые в правой части. Общий знаменатель равен 8.

$-\frac{1}{4} \le \frac{8x}{8} - \frac{x}{8}$

$-\frac{1}{4} \le \frac{7x}{8}$

Теперь умножим обе части неравенства на 8, чтобы избавиться от знаменателя в правой части. Знак неравенства не меняется.

$8 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) \le 7x$

$-2 \le 7x$

Разделим обе части на 7. Знак неравенства не меняется.

$-\frac{2}{7} \le x$

Это неравенство можно записать как $x \ge -\frac{2}{7}$.

Решением является множество всех чисел, больших или равных $-\frac{2}{7}$. В виде интервала это записывается как $[-\frac{2}{7}; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-\frac{2}{7}; +\infty)$.