Номер 126, страница 35 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

126. При каких значениях x имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{4x+20}$;

2) $\sqrt{5-14x}$;

3) $\frac{10}{\sqrt{4x+10}}$?

Чтобы найти, при каких значениях x выражение имеет смысл, необходимо определить его область допустимых значений (ОДЗ). Область допустимых значений — это множество всех значений переменной, при которых выражение определено (имеет смысл).

1) $\sqrt{4x+20}$

Выражение, содержащее квадратный корень, имеет смысл только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю.

Составим и решим соответствующее неравенство:

$4x + 20 \geq 0$

Перенесем 20 в правую часть неравенства, изменив знак на противоположный:

$4x \geq -20$

Разделим обе части неравенства на 4. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства сохраняется:

$x \geq -5$

Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях x, которые больше или равны -5.

Ответ: $x \in [-5; +\infty)$.

2) $\sqrt{5-14x}$

Аналогично предыдущему пункту, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$5 - 14x \geq 0$

Перенесем 5 в правую часть неравенства:

$-14x \geq -5$

Разделим обе части неравенства на -14. При делении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x \leq \frac{-5}{-14}$

$x \leq \frac{5}{14}$

Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях x, которые меньше или равны $\frac{5}{14}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{5}{14}]$.

3) $\frac{10}{\sqrt{4x+10}}$

В данном выражении переменная x находится в знаменателе под знаком квадратного корня. Это накладывает два условия:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как оно находится под знаком квадратного корня: $4x + 10 \geq 0$.
2. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $\sqrt{4x+10} \neq 0$, что равносильно условию $4x + 10 \neq 0$.

Объединяя эти два условия ($4x + 10 \geq 0$ и $4x + 10 \neq 0$), мы получаем одно строгое неравенство: подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.

Составим и решим это неравенство:

$4x + 10 > 0$

Перенесем 10 в правую часть:

$4x > -10$

Разделим обе части на 4:

$x > -\frac{10}{4}$

Сократим дробь:

$x > -2.5$

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях x, которые строго больше -2.5.

Ответ: $x \in (-2.5; +\infty)$.