Страница 35 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

114. Укажите наибольшее целое число, принадлежащее промежутку:

1) $ (-\infty; -4) $;

2) $ (-\infty; -6,2] $;

3) $ (-\infty; 1] $;

4) $ (-\infty; -1,8) $.

1) Задан промежуток $(-\infty; -4)$. Это открытый луч, который включает все действительные числа, строго меньшие $-4$. Круглая скобка означает, что число $-4$ не входит в данный промежуток. Мы ищем наибольшее целое число $x$, которое удовлетворяет неравенству $x < -4$. Целые числа, которые меньше $-4$, это $-5, -6, -7$ и так далее в сторону уменьшения. Наибольшим из этих чисел является $-5$.
Ответ: $-5$.

2) Задан промежуток $(-\infty; -6,2]$. Это замкнутый луч, который включает все действительные числа, меньшие или равные $-6,2$. Квадратная скобка означает, что число $-6,2$ входит в данный промежуток. Мы ищем наибольшее целое число $x$, которое удовлетворяет неравенству $x \le -6,2$. Целые числа, которые меньше или равны $-6,2$, это $-7, -8, -9$ и так далее. Наибольшим из этих чисел является $-7$.
Ответ: $-7$.

3) Задан промежуток $(-\infty; 1]$. Это замкнутый луч, который включает все действительные числа, меньшие или равные $1$. Квадратная скобка означает, что число $1$ принадлежит этому промежутку. Мы ищем наибольшее целое число $x$, удовлетворяющее неравенству $x \le 1$. Поскольку $1$ само по себе является целым числом и включено в промежуток, оно и будет наибольшим целым числом в этом промежутке.
Ответ: $1$.

4) Задан промежуток $(-\infty; -1,8)$. Это открытый луч, включающий все действительные числа, которые строго меньше $-1,8$. Круглая скобка означает, что число $-1,8$ не входит в данный промежуток. Мы ищем наибольшее целое число $x$, которое удовлетворяет неравенству $x < -1,8$. Целые числа, которые меньше $-1,8$, это $-2, -3, -4$ и так далее. Наибольшим из этих чисел является $-2$.
Ответ: $-2$.

115. Каким из данных промежутков принадлежит число $-7$:

1) $(-\infty; -7)$;

2) $[-7; +\infty)$;

3) $(-\infty; 0]$;

4) $(-\infty; -6)$?

Чтобы определить, какому из данных промежутков принадлежит число -7, необходимо последовательно рассмотреть каждый из предложенных вариантов.

1) $(-\infty; -7)$

Данный промежуток обозначает все действительные числа, которые строго меньше, чем -7. Это можно записать в виде неравенства $x < -7$. Подставим число -7 в это неравенство: $-7 < -7$. Это неравенство является ложным, так как число не может быть строго меньше самого себя. Круглая скобка `)` возле числа -7 означает, что граница интервала не включается в данный промежуток.

Ответ: не принадлежит.

2) $[-7; +\infty)$

Данный промежуток обозначает все действительные числа, которые больше или равны -7. Это можно записать в виде неравенства $x \ge -7$. Подставим число -7 в это неравенство: $-7 \ge -7$. Это неравенство является истинным, так как $-7 = -7$. Квадратная скобка `[` означает, что граница интервала, то есть число -7, включается в данный промежуток.

Ответ: принадлежит.

3) $(-\infty; 0]$

Данный промежуток обозначает все действительные числа, которые меньше или равны 0. Это можно записать в виде неравенства $x \le 0$. Число -7 удовлетворяет этому условию, поскольку $-7 < 0$.

Ответ: принадлежит.

4) $(-\infty; -6)$

Данный промежуток обозначает все действительные числа, которые строго меньше -6. Это можно записать в виде неравенства $x < -6$. Число -7 удовлетворяет этому условию, поскольку $-7 < -6$.

Ответ: принадлежит.

Таким образом, мы видим, что число -7 принадлежит трем из четырех предложенных промежутков: $[-7; +\infty)$, $(-\infty; 0]$ и $(-\infty; -6)$. Однако вопрос "Каким из данных промежутков..." сформулирован в единственном числе, что обычно предполагает наличие только одного правильного ответа. Задания такого типа часто направлены на проверку понимания обозначений границ промежутков (включающих и исключающих). Число -7 является граничной точкой для первого и второго промежутков. Промежуток 1) $(-\infty; -7)$ не включает свою границу -7 (из-за круглой скобки), а промежуток 2) $[-7; +\infty)$ включает свою границу -7 (из-за квадратной скобки). Поэтому, хотя число -7 формально входит и в промежутки 3 и 4, наиболее точным и вероятным ответом, проверяющим ключевое знание по теме, является вариант 2.

Ответ: 2

116. Какому из данных промежутков не принадлежит число 9:

1) $(8,99; +\infty);$

2) $(-\infty; 10);$

3) $(-\infty; 8,99];$

4) $[9; +\infty)?$

Для решения этой задачи нужно проверить, входит ли число 9 в каждый из предложенных промежутков. Вспомним, что круглые скобки $(~)$ означают, что концы промежутка не включаются (строгое неравенство), а квадратные скобки $[~]$ — что включаются (нестрогое неравенство).

1) (8,99; +∞)

Этот промежуток содержит все числа $x$, удовлетворяющие строгому неравенству $x > 8,99$. Так как $9 > 8,99$, это утверждение верно. Значит, число 9 принадлежит этому промежутку.

2) (-∞; 10)

Этот промежуток содержит все числа $x$, удовлетворяющие строгому неравенству $x < 10$. Так как $9 < 10$, это утверждение верно. Значит, число 9 принадлежит этому промежутку.

3) (-∞; 8,99]

Этот промежуток содержит все числа $x$, удовлетворяющие нестрогому неравенству $x \le 8,99$. Проверим это условие для числа 9: $9 \le 8,99$. Это утверждение ложно. Следовательно, число 9 не принадлежит этому промежутку.

4) [9; +∞)

Этот промежуток содержит все числа $x$, удовлетворяющие нестрогому неравенству $x \ge 9$. Проверим это условие для числа 9: $9 \ge 9$. Это утверждение верно, так как $9 = 9$. Значит, число 9 принадлежит этому промежутку.

Таким образом, мы установили, что число 9 не принадлежит только промежутку $(-\infty; 8,99]$.

Ответ: 3

117. Решите неравенство:

1) $6x > 18;$

2) $-2x \ge 10;$

3) $\frac{1}{3}x < 9;$

4) $0,1x \ge 0;$

5) $\frac{3}{4}x > 24;$

6) $-10x < 0;$

7) $2\frac{1}{4}x \le -1\frac{4}{5};$

8) $-7x > \frac{14}{15};$

9) $7x - 2 > 19;$

10) $5x + 16 \le 6;$

11) $4 - x < 5;$

12) $5 - 8x \ge 6;$

13) $12 + 4x \ge 6x;$

14) $36 - 2x < 4x;$

15) $\frac{x+2}{5} < 2.$

1) $6x > 18$
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 6. Так как 6 — положительное число, знак неравенства сохраняется.
$x > \frac{18}{6}$
$x > 3$
Ответ: $x \in (3; +\infty)$

2) $-2x \ge 10$
Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $\ge$ на $\le$).
$x \le \frac{10}{-2}$
$x \le -5$
Ответ: $x \in (-\infty; -5]$

3) $\frac{1}{3}x < 9$
Умножим обе части неравенства на 3, чтобы избавиться от дроби. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не меняется.
$x < 9 \cdot 3$
$x < 27$
Ответ: $x \in (-\infty; 27)$

4) $0,1x \ge 0$
Разделим обе части неравенства на 0,1. Так как 0,1 — положительное число, знак неравенства сохраняется.
$x \ge \frac{0}{0,1}$
$x \ge 0$
Ответ: $x \in [0; +\infty)$

5) $\frac{3}{4}x > 24$
Умножим обе части неравенства на число, обратное коэффициенту при $x$, то есть на $\frac{4}{3}$. Так как $\frac{4}{3}$ — положительное число, знак неравенства не меняется.
$x > 24 \cdot \frac{4}{3}$
$x > 8 \cdot 4$
$x > 32$
Ответ: $x \in (32; +\infty)$

6) $-10x < 0$
Разделим обе части неравенства на -10. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с < на $>$$).
$x > \frac{0}{-10}$
$x > 0$
Ответ: $x \in (0; +\infty)$

7) $2\frac{1}{4}x \le -1\frac{4}{5}$
Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$; $-1\frac{4}{5} = -\frac{9}{5}$
Неравенство принимает вид: $\frac{9}{4}x \le -\frac{9}{5}$
Умножим обе части на $\frac{4}{9}$ (положительное число), знак неравенства не изменится.
$x \le -\frac{9}{5} \cdot \frac{4}{9}$
$x \le -\frac{4}{5}$
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{4}{5}]$

8) $-7x > \frac{14}{15}$
Разделим обе части неравенства на -7. Знак неравенства изменится на противоположный (с $>$ на <):
$x < \frac{14}{15} \div (-7)$
$x < \frac{14}{15} \cdot (-\frac{1}{7})$
$x < -\frac{2}{15}$
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{15})$

9) $7x - 2 > 19$
Перенесем -2 в правую часть неравенства, изменив знак на противоположный.
$7x > 19 + 2$
$7x > 21$
Разделим обе части на 7 (положительное число).
$x > \frac{21}{7}$
$x > 3$
Ответ: $x \in (3; +\infty)$

10) $5x + 16 \le 6$
Перенесем 16 в правую часть неравенства, изменив знак на противоположный.
$5x \le 6 - 16$
$5x \le -10$
Разделим обе части на 5 (положительное число).
$x \le \frac{-10}{5}$
$x \le -2$
Ответ: $x \in (-\infty; -2]$

11) $4 - x < 5$
Перенесем 4 в правую часть неравенства.
$-x < 5 - 4$
$-x < 1$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный (с < на $>$$).
$x > -1$
Ответ: $x \in (-1; +\infty)$

12) $5 - 8x \ge 6$
Перенесем 5 в правую часть неравенства.
$-8x \ge 6 - 5$
$-8x \ge 1$
Разделим обе части на -8, изменив знак неравенства на противоположный (с $\ge$ на $\le$).
$x \le \frac{1}{-8}$
$x \le -\frac{1}{8}$
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{8}]$

13) $12 + 4x \ge 6x$
Соберем слагаемые с $x$ в одной части, а числа — в другой. Перенесем $4x$ вправо.
$12 \ge 6x - 4x$
$12 \ge 2x$
Разделим обе части на 2 (положительное число).
$6 \ge x$
Это эквивалентно записи $x \le 6$.
Ответ: $x \in (-\infty; 6]$

14) $36 - 2x < 4x$
Перенесем $-2x$ в правую часть неравенства.
$36 < 4x + 2x$
$36 < 6x$
Разделим обе части на 6 (положительное число).
$6 < x$
Это эквивалентно записи $x > 6$.
Ответ: $x \in (6; +\infty)$

15) $\frac{x+2}{5} < 2$
Умножим обе части неравенства на 5 (положительное число), чтобы избавиться от знаменателя.
$x + 2 < 2 \cdot 5$
$x + 2 < 10$
Перенесем 2 в правую часть.
$x < 10 - 2$
$x < 8$
Ответ: $x \in (-\infty; 8)$

118. Решите неравенство:

1) $5x < 30;$

2) $-4x \leq -16;$

3) $\frac{2}{3}x \leq 6;$

4) $-12x \geq 0;$

5) $-3x < \frac{6}{7};$

6) $-2\frac{1}{3}x > 1\frac{5}{9};$

7) $4x + 5 > -7;$

8) $9 - x \geq 2x;$

9) $13 - 6x \geq -23;$

10) $5 - 9x > 16;$

11) $3x + 2 \leq -7x;$

12) $\frac{x - 3}{4} > -1.$

1) $5x < 30$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства сохраняется.

$x < \frac{30}{5}$

$x < 6$

Ответ: $x \in (-\infty; 6)$.

2) $-4x \le -16$

Разделим обе части неравенства на -4. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $\le$ на $\ge$).

$x \ge \frac{-16}{-4}$

$x \ge 4$

Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

3) $\frac{2}{3}x \le 6$

Умножим обе части неравенства на $\frac{3}{2}$ (число, обратное к $\frac{2}{3}$). Так как $\frac{3}{2}$ — положительное число, знак неравенства сохраняется.

$x \le 6 \cdot \frac{3}{2}$

$x \le 9$

Ответ: $x \in (-\infty; 9]$.

4) $-12x \ge 0$

Разделим обе части неравенства на -12. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $\ge$ на $\le$).

$x \le \frac{0}{-12}$

$x \le 0$

Ответ: $x \in (-\infty; 0]$.

5) $-3x < \frac{6}{7}$

Разделим обе части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с < на $> $).

$x > \frac{6/7}{-3}$

$x > -\frac{6}{7 \cdot 3}$

$x > -\frac{2}{7}$

Ответ: $x \in (-\frac{2}{7}; +\infty)$.

6) $-2\frac{1}{3}x > 1\frac{5}{9}$

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$-2\frac{1}{3} = -\frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{7}{3}$

$1\frac{5}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{14}{9}$

Неравенство принимает вид: $-\frac{7}{3}x > \frac{14}{9}$

Умножим обе части на $-\frac{3}{7}$ (число, обратное к $-\frac{7}{3}$). Так как мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

$x < \frac{14}{9} \cdot (-\frac{3}{7})$

$x < -\frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 7}$

$x < -\frac{2}{3}$

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{3})$.

7) $4x + 5 > -7$

Перенесем 5 в правую часть неравенства, изменив знак.

$4x > -7 - 5$

$4x > -12$

Разделим обе части на 4. Знак неравенства не меняется.

$x > \frac{-12}{4}$

$x > -3$

Ответ: $x \in (-3; +\infty)$.

8) $9 - x \ge 2x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую. Перенесем $-x$ вправо.

$9 \ge 2x + x$

$9 \ge 3x$

Разделим обе части на 3. Знак неравенства не меняется.

$3 \ge x$, что эквивалентно $x \le 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3]$.

9) $13 - 6x \ge -23$

Перенесем 13 в правую часть неравенства с противоположным знаком.

$-6x \ge -23 - 13$

$-6x \ge -36$

Разделим обе части на -6. Знак неравенства меняется на противоположный.

$x \le \frac{-36}{-6}$

$x \le 6$

Ответ: $x \in (-\infty; 6]$.

10) $5 - 9x > 16$

Перенесем 5 в правую часть неравенства.

$-9x > 16 - 5$

$-9x > 11$

Разделим обе части на -9. Знак неравенства меняется на противоположный.

$x < \frac{11}{-9}$

$x < -\frac{11}{9}$

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{11}{9})$.

11) $3x + 2 \le -7x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую.

$3x + 7x \le -2$

$10x \le -2$

Разделим обе части на 10.

$x \le \frac{-2}{10}$

$x \le -\frac{1}{5}$

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{5}]$.

12) $\frac{x-3}{4} > -1$

Умножим обе части неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знак неравенства не меняется.

$x - 3 > -1 \cdot 4$

$x - 3 > -4$

Перенесем -3 в правую часть с противоположным знаком.

$x > -4 + 3$

$x > -1$

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

119. Решите неравенство:

1) $0x > 10;$

2) $0x < 15;$

3) $0x > -8;$

4) $0x < -3;$

5) $0x \ge 1;$

6) $0x \le 2;$

7) $0x \le 0;$

8) $0x > 0.$

1) Рассмотрим неравенство $0x > 10$. Выражение $0x$ в левой части равно $0$ при любом значении переменной $x$. Таким образом, неравенство сводится к числовому неравенству $0 > 10$. Это утверждение является ложным, поскольку $0$ не больше $10$. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.

2) Рассмотрим неравенство $0x < 15$. Левая часть неравенства $0x$ равна $0$ для любого $x$. Таким образом, мы получаем числовое неравенство $0 < 15$. Это утверждение является истинным. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

3) Рассмотрим неравенство $0x > -8$. При любом значении $x$ левая часть $0x$ равна $0$. Неравенство принимает вид $0 > -8$. Это утверждение является истинным, так как нуль больше любого отрицательного числа. Следовательно, решением неравенства является любое число.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

4) Рассмотрим неравенство $0x < -3$. Левая часть $0x$ всегда равна $0$. Получаем числовое неравенство $0 < -3$. Это утверждение является ложным, так как $0$ не меньше $-3$. Следовательно, у неравенства нет решений.
Ответ: решений нет.

5) Рассмотрим неравенство $0x \ge 1$. Левая часть $0x$ равна $0$ при любом $x$. Получаем числовое неравенство $0 \ge 1$. Это утверждение является ложным, так как $0$ не больше и не равен $1$. Следовательно, неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.

6) Рассмотрим неравенство $0x \le 2$. Левая часть $0x$ равна $0$ для любого $x$. Получаем числовое неравенство $0 \le 2$. Это утверждение является истинным. Следовательно, решением неравенства является любое число.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

7) Рассмотрим неравенство $0x \le 0$. Левая часть $0x$ всегда равна $0$. Получаем числовое неравенство $0 \le 0$. Это утверждение является истинным, так как $0$ равен $0$. Следовательно, решением неравенства является любое число.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

8) Рассмотрим неравенство $0x > 0$. Левая часть $0x$ равна $0$ при любом значении $x$. Получаем числовое неравенство $0 > 0$. Это утверждение является ложным, так как $0$ не может быть строго больше самого себя. Следовательно, неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.

120. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

1) $5x \ge 40;$

2) $5x > 40;$

3) $-2x < -3;$

4) $-7x < 15.$

1) Дано неравенство $5x \ge 40$. Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 5. Поскольку 5 — положительное число, знак неравенства сохраняется:
$x \ge \frac{40}{5}$
$x \ge 8$
Решениями неравенства являются все числа, которые больше или равны 8. Множество решений: $[8, +\infty)$. Наименьшее целое число в этом множестве — это 8.
Ответ: 8

2) Дано неравенство $5x > 40$. Разделим обе части неравенства на 5:
$x > \frac{40}{5}$
$x > 8$
Решениями неравенства являются все числа, которые строго больше 8. Множество решений: $(8, +\infty)$. Наименьшее целое число, которое больше 8, — это 9.
Ответ: 9

3) Дано неравенство $-2x < -3$. Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с "<" на ">"):
$x > \frac{-3}{-2}$
$x > \frac{3}{2}$
$x > 1.5$
Решениями неравенства являются все числа, которые больше 1.5. Множество решений: $(1.5, +\infty)$. Наименьшее целое число, которое больше 1.5, — это 2.
Ответ: 2

4) Дано неравенство $-7x < 15$. Разделим обе части неравенства на -7. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства необходимо поменять на противоположный:
$x > \frac{15}{-7}$
$x > -2\frac{1}{7}$
Решениями неравенства являются все числа, которые больше $-2\frac{1}{7}$ (это примерно -2.14). Множество решений: $(-2\frac{1}{7}, +\infty)$. На числовой прямой целые числа, удовлетворяющие этому условию, это -2, -1, 0, 1, ... Наименьшим из них является -2.
Ответ: -2

121. Найдите наибольшее целое решение неравенства:

1) $8x \le -16;$

2) $8x < -16;$

3) $3x < 10;$

4) $-6x > -25.$

1) Решим неравенство $8x \le -16$.
Для того чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 8. Так как 8 — положительное число, знак неравенства не изменяется:
$ \frac{8x}{8} \le \frac{-16}{8} $
$ x \le -2 $
Решениями являются все числа, которые меньше или равны -2. Множество целых решений: $..., -5, -4, -3, -2$. Наибольшее целое число в этом множестве — это -2.
Ответ: -2

2) Решим неравенство $8x < -16$.
Разделим обе части неравенства на 8. Знак неравенства не меняется:
$ \frac{8x}{8} < \frac{-16}{8} $
$ x < -2 $
Решениями являются все числа, которые строго меньше -2. Множество целых решений: $..., -5, -4, -3$. Наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому условию, является -3.
Ответ: -3

3) Решим неравенство $3x < 10$.
Разделим обе части неравенства на 3. Знак неравенства не меняется:
$ \frac{3x}{3} < \frac{10}{3} $
$ x < 3\frac{1}{3} $
Нам нужно найти наибольшее целое число, которое меньше $3\frac{1}{3}$ (приблизительно 3,33). Множество целых решений: $..., 1, 2, 3$. Наибольшим из этих целых чисел является 3.
Ответ: 3

4) Решим неравенство $-6x > -25$.
Разделим обе части неравенства на -6. Важно помнить, что при делении или умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (в данном случае ">" на "<"):
$ \frac{-6x}{-6} < \frac{-25}{-6} $
$ x < \frac{25}{6} $
Преобразуем дробь в смешанное число: $x < 4\frac{1}{6}$.
Нам нужно найти наибольшее целое число, которое меньше $4\frac{1}{6}$ (приблизительно 4,17). Множество целых решений: $..., 2, 3, 4$. Наибольшим из них является 4.
Ответ: 4

122. При каких значениях $a$ выражение $6a + 1$ принимает отрицательные значения?

Для того чтобы выражение $6a + 1$ принимало отрицательные значения, оно должно быть меньше нуля. Составим и решим соответствующее линейное неравенство:

$6a + 1 < 0$

Для решения этого неравенства сначала перенесем свободный член (1) из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$6a < -1$

Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент при переменной a, то есть на 6. Поскольку мы делим на положительное число, знак неравенства сохраняется:

$a < -\frac{1}{6}$

Это означает, что выражение $6a + 1$ будет отрицательным при всех значениях a, которые строго меньше $-\frac{1}{6}$. Данное решение можно представить в виде числового промежутка.

Ответ: $a \in (-\infty; -\frac{1}{6})$

123. При каких значениях $b$ выражение $7 - 2b$ принимает положительные значения?

Чтобы выражение $7 - 2b$ принимало положительные значения, оно должно быть строго больше нуля. Запишем это условие в виде неравенства:

$7 - 2b > 0$

Для решения этого неравенства сначала перенесем число 7 из левой части в правую, изменив при этом его знак на противоположный:

$-2b > -7$

Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент при $b$, то есть на $-2$. Важно помнить, что при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (знак «больше» > меняется на знак «меньше» <):

$\frac{-2b}{-2} < \frac{-7}{-2}$

$b < \frac{7}{2}$

Дробь $\frac{7}{2}$ можно представить в виде десятичной дроби:

$b < 3.5$

Таким образом, выражение будет положительным при всех значениях $b$, которые меньше 3,5.

Ответ: $b < 3.5$

124. При каких значениях $m$ значения выражения $2 - 4m$ не меньше $-22$?

Условие "значения выражения $2 - 4m$ не меньше $-22$" означает, что значение этого выражения больше или равно $-22$. Это можно записать в виде неравенства:

$2 - 4m \ge -22$

Теперь решим это линейное неравенство. Сначала перенесем 2 из левой части в правую, изменив знак на противоположный:

$-4m \ge -22 - 2$

$-4m \ge -24$

Далее, разделим обе части неравенства на коэффициент при $m$, то есть на -4. При делении неравенства на отрицательное число его знак меняется на противоположный (знак $ \ge $ меняется на $ \le $):

$m \le \frac{-24}{-4}$

$m \le 6$

Таким образом, выражение $2 - 4m$ будет не меньше $-22$ при всех значениях $m$, которые меньше или равны 6. На числовой оси это соответствует промежутку $(-\infty; 6]$.

Ответ: $m \le 6$.

125. При каких значениях $n$ значения выражения $12n - 5$ не больше $-53$?

Чтобы найти значения n, при которых выражение $12n - 5$ не больше $-53$, необходимо составить и решить неравенство.

Фраза "не больше" означает "меньше или равно". Таким образом, мы получаем следующее неравенство:

$12n - 5 \leq -53$

Теперь решим это линейное неравенство. Перенесем член -5 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$12n \leq -53 + 5$

$12n \leq -48$

Далее разделим обе части неравенства на коэффициент при n, то есть на 12. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства не меняется:

$\frac{12n}{12} \leq \frac{-48}{12}$

$n \leq -4$

Таким образом, выражение $12n - 5$ будет не больше $-53$ при всех значениях n, которые меньше или равны -4. На числовой прямой это соответствует промежутку $(-\infty; -4]$.

Ответ: при $n \leq -4$.

126. При каких значениях x имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{4x+20}$;

2) $\sqrt{5-14x}$;

3) $\frac{10}{\sqrt{4x+10}}$?

Чтобы найти, при каких значениях x выражение имеет смысл, необходимо определить его область допустимых значений (ОДЗ). Область допустимых значений — это множество всех значений переменной, при которых выражение определено (имеет смысл).

1) $\sqrt{4x+20}$

Выражение, содержащее квадратный корень, имеет смысл только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю.

Составим и решим соответствующее неравенство:

$4x + 20 \geq 0$

Перенесем 20 в правую часть неравенства, изменив знак на противоположный:

$4x \geq -20$

Разделим обе части неравенства на 4. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства сохраняется:

$x \geq -5$

Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях x, которые больше или равны -5.

Ответ: $x \in [-5; +\infty)$.

2) $\sqrt{5-14x}$

Аналогично предыдущему пункту, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$5 - 14x \geq 0$

Перенесем 5 в правую часть неравенства:

$-14x \geq -5$

Разделим обе части неравенства на -14. При делении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x \leq \frac{-5}{-14}$

$x \leq \frac{5}{14}$

Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях x, которые меньше или равны $\frac{5}{14}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{5}{14}]$.

3) $\frac{10}{\sqrt{4x+10}}$

В данном выражении переменная x находится в знаменателе под знаком квадратного корня. Это накладывает два условия:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как оно находится под знаком квадратного корня: $4x + 10 \geq 0$.
2. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $\sqrt{4x+10} \neq 0$, что равносильно условию $4x + 10 \neq 0$.

Объединяя эти два условия ($4x + 10 \geq 0$ и $4x + 10 \neq 0$), мы получаем одно строгое неравенство: подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.

Составим и решим это неравенство:

$4x + 10 > 0$

Перенесем 10 в правую часть:

$4x > -10$

Разделим обе части на 4:

$x > -\frac{10}{4}$

Сократим дробь:

$x > -2.5$

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях x, которые строго больше -2.5.

Ответ: $x \in (-2.5; +\infty)$.