Страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

159. Найдите все значения a, при которых имеет два различных действительных корня уравнение:

1) $ax^2 + 2x - 1 = 0;$

2) $(a + 1)x^2 - (2a - 3)x + a = 0;$

3) $(a - 3)x^2 - 2(a - 5)x + a - 2 = 0.$

160. Найдите все значения $a$, при которых не имеет корней уравнение $(a-2)x^2 + (2a+1)x + a = 0$.

Данное уравнение $(a-2)x^2 + (2a+1)x + a = 0$ является уравнением с параметром. В зависимости от значения a оно может быть квадратным или линейным. Уравнение не будет иметь корней, если:
1) оно является линейным ($kx+b=0$) и при этом $k=0$, а $b\neq0$.
2) оно является квадратным и его дискриминант $D$ отрицателен.
Рассмотрим эти два случая.

Случай 1: Уравнение является линейным

Уравнение становится линейным, если коэффициент при $x^2$ обращается в ноль.
$a - 2 = 0$, откуда $a = 2$.
Подставим это значение a в исходное уравнение:
$(2-2)x^2 + (2 \cdot 2 + 1)x + 2 = 0$
$0 \cdot x^2 + 5x + 2 = 0$
$5x + 2 = 0$
В этом случае уравнение имеет единственный корень $x = -2/5$. Следовательно, значение $a=2$ не удовлетворяет условию задачи.

Случай 2: Уравнение является квадратным

Уравнение является квадратным, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a - 2 \neq 0$, или $a \neq 2$.
Квадратное уравнение не имеет действительных корней, когда его дискриминант $D$ меньше нуля.
Вычислим дискриминант:
$D = (2a+1)^2 - 4(a-2)a$
$D = (4a^2 + 4a + 1) - (4a^2 - 8a)$
$D = 4a^2 + 4a + 1 - 4a^2 + 8a = 12a + 1$
Теперь решим неравенство $D < 0$:
$12a + 1 < 0$
$12a < -1$
$a < -\frac{1}{12}$
Найденный интервал $a \in (-\infty; -1/12)$ удовлетворяет условию $a \neq 2$.

Объединяя результаты анализа обоих случаев, мы заключаем, что исходное уравнение не имеет корней при $a < -\frac{1}{12}$.

Ответ: $a \in (-\infty; -1/12)$.

161. Существует ли такое значение $a$, при котором не имеет решений неравенство (в случае утвердительного ответа укажите это значение):

1) $ax > 3x + 4;$

2) $(a^2 - a - 2)x \le a - 2?$

1) Перепишем данное неравенство $ax > 3x + 4$ в виде $(a - 3)x > 4$. Это линейное неравенство относительно переменной $x$. Оно не имеет решений в том случае, когда коэффициент при $x$ равен нулю, а получившееся числовое неравенство является неверным. Приравняем коэффициент при $x$ к нулю: $a - 3 = 0$, откуда $a = 3$. Подставим это значение в неравенство: $0 \cdot x > 4$, или $0 > 4$. Это неверное утверждение, следовательно, при $a=3$ неравенство не имеет решений.
Ответ: Да, существует, $a = 3$.

2) Рассмотрим неравенство $(a^2 - a - 2)x \le a - 2$. Данное линейное неравенство не имеет решений, если коэффициент при $x$ равен нулю, а итоговое числовое неравенство ложно. Найдем значения параметра $a$, при которых коэффициент при $x$ обращается в ноль, решив уравнение: $a^2 - a - 2 = 0$. Разложим левую часть на множители: $(a - 2)(a + 1) = 0$. Отсюда получаем два возможных значения: $a_1 = 2$ и $a_2 = -1$. Проверим каждое из них.
1. При $a = 2$ неравенство принимает вид: $(2^2 - 2 - 2)x \le 2 - 2$, что упрощается до $0 \cdot x \le 0$, или $0 \le 0$. Это неравенство верно для любого действительного числа $x$, следовательно, решения есть.
2. При $a = -1$ неравенство принимает вид: $((-1)^2 - (-1) - 2)x \le -1 - 2$, что упрощается до $0 \cdot x \le -3$, или $0 \le -3$. Это неверное числовое неравенство, поэтому при $a = -1$ решений нет.
Ответ: Да, существует, $a = -1$.

162. Существует ли такое значение a, при котором любое число является решением неравенства (в случае утвердительного ответа укажите это значение):

1) $ax > -1 - 7x$;

2) $(a^2 - 16)x \ge a + 4?$

1) Рассматривается неравенство $ax > -1 - 7x$.
Для того чтобы найти значение параметра $a$, при котором любое число является решением этого неравенства, преобразуем его. Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть:
$ax + 7x > -1$
Вынесем $x$ за скобки:
$(a + 7)x > -1$
Данное неравенство является линейным относительно $x$. Оно имеет вид $kx > c$. Решением такого неравенства будет любое действительное число $x$ только в том случае, если коэффициент при $x$ равен нулю, а полученное числовое неравенство является верным.
1. Приравняем коэффициент при $x$ к нулю:
$k = a + 7 = 0$
$a = -7$
2. Подставим найденное значение $a = -7$ в неравенство и проверим, будет ли оно верным:
$(-7 + 7)x > -1$
$0 \cdot x > -1$
$0 > -1$
Неравенство $0 > -1$ является верным. Таким образом, при $a = -7$ исходное неравенство выполняется для любого значения $x$.
Ответ: да, существует, $a = -7$.

2) Рассматривается неравенство $(a^2 - 16)x \ge a + 4$.
Это неравенство вида $kx \ge c$. Чтобы его решением было любое число $x$, необходимо, чтобы коэффициент $k$ при $x$ был равен нулю, а получившееся в результате этого числовое неравенство $0 \ge c$ было верным.
1. Приравняем коэффициент при $x$ к нулю:
$k = a^2 - 16 = 0$
Разложим на множители:
$(a - 4)(a + 4) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $a = 4$ и $a = -4$.
2. Проверим каждый из найденных корней, подставив их в исходное неравенство.
Случай 1: $a = 4$.
Подставляем в неравенство:
$(4^2 - 16)x \ge 4 + 4$
$(16 - 16)x \ge 8$
$0 \cdot x \ge 8$
$0 \ge 8$
Полученное неравенство является неверным. Следовательно, значение $a = 4$ не подходит.
Случай 2: $a = -4$.
Подставляем в неравенство:
$((-4)^2 - 16)x \ge -4 + 4$
$(16 - 16)x \ge 0$
$0 \cdot x \ge 0$
$0 \ge 0$
Полученное неравенство является верным (так как $0$ равен $0$). Следовательно, при $a = -4$ исходное неравенство выполняется для любого значения $x$.
Ответ: да, существует, $a = -4$.

163. Для каждого значения $a$ решите неравенство:

1) $ax > 0$;

2) $ax < 1$;

3) $ax \geq a$;

4) $2(x - a) < ax - 4$;

5) $(a - 2)x > a^2 - 4$;

6) $(a + 3)x \leq a^2 - 9$.

1) Решим неравенство $ax > 0$.

Решение этого линейного неравенства относительно $x$ зависит от знака параметра $a$. Рассмотрим три возможных случая.

1. Если $a > 0$, то при делении обеих частей неравенства на положительное число $a$ знак неравенства сохраняется:

$x > \frac{0}{a}$

$x > 0$

2. Если $a < 0$, то при делении обеих частей на отрицательное число $a$ знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{0}{a}$

$x < 0$

3. Если $a = 0$, неравенство принимает вид $0 \cdot x > 0$, или $0 > 0$. Это неверное числовое неравенство, следовательно, при $a=0$ решений нет.

Ответ: если $a > 0$, то $x \in (0; +\infty)$; если $a < 0$, то $x \in (-\infty; 0)$; если $a = 0$, то решений нет.

2) Решим неравенство $ax < 1$.

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим три случая для параметра $a$.

1. Если $a > 0$, делим на $a$, знак неравенства не меняется:

$x < \frac{1}{a}$

2. Если $a < 0$, делим на $a$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{1}{a}$

3. Если $a = 0$, неравенство принимает вид $0 \cdot x < 1$, или $0 < 1$. Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.

Ответ: если $a > 0$, то $x \in (-\infty; \frac{1}{a})$; если $a < 0$, то $x \in (\frac{1}{a}; +\infty)$; если $a = 0$, то $x \in (-\infty; +\infty)$.

3) Решим неравенство $ax \ge a$.

Рассмотрим три случая для параметра $a$.

1. Если $a > 0$, делим обе части на $a$, знак неравенства сохраняется:

$x \ge \frac{a}{a}$

$x \ge 1$

2. Если $a < 0$, делим обе части на $a$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{a}{a}$

$x \le 1$

3. Если $a = 0$, неравенство принимает вид $0 \cdot x \ge 0$, или $0 \ge 0$. Это верное числовое неравенство, выполняющееся при любом $x$.

Ответ: если $a > 0$, то $x \in [1; +\infty)$; если $a < 0$, то $x \in (-\infty; 1]$; если $a = 0$, то $x \in (-\infty; +\infty)$.

4) Решим неравенство $2(x - a) < ax - 4$.

Сначала преобразуем неравенство, собрав все члены с $x$ в одной части, а свободные члены — в другой.

$2x - 2a < ax - 4$

$2x - ax < 2a - 4$

$x(2 - a) < 2(a - 2)$

$x(2 - a) < -2(2 - a)$

Решение зависит от знака коэффициента при $x$, то есть от выражения $(2 - a)$.

1. Если $2 - a > 0$ (то есть $a < 2$), делим обе части на положительное число $(2 - a)$, знак неравенства сохраняется:

$x < -2$

2. Если $2 - a < 0$ (то есть $a > 2$), делим обе части на отрицательное число $(2 - a)$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x > -2$

3. Если $2 - a = 0$ (то есть $a = 2$), неравенство принимает вид $0 \cdot x < -2(0)$, или $0 < 0$. Это неверное неравенство, решений нет.

Ответ: если $a < 2$, то $x \in (-\infty; -2)$; если $a > 2$, то $x \in (-2; +\infty)$; если $a = 2$, то решений нет.

5) Решим неравенство $(a - 2)x > a^2 - 4$.

Разложим правую часть на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$.

Неравенство принимает вид: $(a - 2)x > (a - 2)(a + 2)$.

Решение зависит от знака коэффициента $(a - 2)$.

1. Если $a - 2 > 0$ (то есть $a > 2$), делим на положительное число $(a - 2)$, знак неравенства сохраняется:

$x > a + 2$

2. Если $a - 2 < 0$ (то есть $a < 2$), делим на отрицательное число $(a - 2)$, знак неравенства меняется:

$x < a + 2$

3. Если $a - 2 = 0$ (то есть $a = 2$), неравенство принимает вид $0 \cdot x > (2 - 2)(2 + 2)$, или $0 > 0$. Это неверно, решений нет.

Ответ: если $a > 2$, то $x \in (a+2; +\infty)$; если $a < 2$, то $x \in (-\infty; a+2)$; если $a = 2$, то решений нет.

6) Решим неравенство $(a + 3)x \le a^2 - 9$.

Разложим правую часть на множители: $a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$.

Неравенство принимает вид: $(a + 3)x \le (a - 3)(a + 3)$.

Решение зависит от знака коэффициента $(a + 3)$.

1. Если $a + 3 > 0$ (то есть $a > -3$), делим на положительное число $(a + 3)$, знак неравенства сохраняется:

$x \le a - 3$

2. Если $a + 3 < 0$ (то есть $a < -3$), делим на отрицательное число $(a + 3)$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge a - 3$

3. Если $a + 3 = 0$ (то есть $a = -3$), неравенство принимает вид $0 \cdot x \le (-3)^2 - 9$, или $0 \le 0$. Это верное неравенство, которое выполняется для любого $x$.

Ответ: если $a > -3$, то $x \in (-\infty; a-3]$; если $a < -3$, то $x \in [a-3; +\infty)$; если $a = -3$, то $x \in (-\infty; +\infty)$.

164. Для каждого значения $a$ решите неравенство:

1) $a^2 x \leq 0$;

2) $a + x < 2 - ax$;

3) $(a + 4)x > 1$.

1) Решим неравенство $a^2x \le 0$.

Это линейное неравенство относительно переменной $x$. Решение зависит от коэффициента при $x$, который равен $a^2$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $a = 0$.

В этом случае коэффициент при $x$ равен $0^2 = 0$. Неравенство принимает вид:

$0 \cdot x \le 0$

$0 \le 0$

Это верное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Следовательно, при $a=0$ решением является любое действительное число.

Случай 2: $a \ne 0$.

В этом случае коэффициент $a^2$ строго больше нуля ($a^2 > 0$). Мы можем разделить обе части неравенства на $a^2$, сохранив знак неравенства:

$x \le \frac{0}{a^2}$

$x \le 0$

Следовательно, при $a \ne 0$ решением является промежуток $(-\infty, 0]$.

Ответ: если $a = 0$, то $x$ — любое число ($x \in \mathbb{R}$); если $a \ne 0$, то $x \le 0$.

2) Решим неравенство $a + x < 2 - ax$.

Сначала преобразуем неравенство, собрав все слагаемые с $x$ в левой части, а остальные — в правой:

$x + ax < 2 - a$

$x(1 + a) < 2 - a$

Решение этого линейного неравенства зависит от знака коэффициента при $x$, то есть от выражения $1+a$. Рассмотрим три случая.

Случай 1: $1 + a > 0$, то есть $a > -1$.

Делим обе части неравенства на положительное число $1+a$, знак неравенства сохраняется:

$x < \frac{2 - a}{1 + a}$

Случай 2: $1 + a < 0$, то есть $a < -1$.

Делим обе части неравенства на отрицательное число $1+a$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{2 - a}{1 + a}$

Случай 3: $1 + a = 0$, то есть $a = -1$.

Неравенство принимает вид:

$x \cdot 0 < 2 - (-1)$

$0 < 3$

Это верное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Следовательно, при $a=-1$ решением является любое действительное число.

Ответ: если $a < -1$, то $x > \frac{2 - a}{1 + a}$; если $a = -1$, то $x$ — любое число ($x \in \mathbb{R}$); если $a > -1$, то $x < \frac{2 - a}{1 + a}$.

3) Решим неравенство $(a + 4)x > 1$.

Это линейное неравенство, решение которого зависит от знака коэффициента при $x$, то есть от выражения $a+4$. Рассмотрим три случая.

Случай 1: $a + 4 > 0$, то есть $a > -4$.

Делим обе части на положительное число $a+4$, знак неравенства сохраняется:

$x > \frac{1}{a + 4}$

Случай 2: $a + 4 < 0$, то есть $a < -4$.

Делим обе части на отрицательное число $a+4$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{1}{a + 4}$

Случай 3: $a + 4 = 0$, то есть $a = -4$.

Неравенство принимает вид:

$0 \cdot x > 1$

$0 > 1$

Это неверное числовое неравенство. Следовательно, при $a = -4$ неравенство не имеет решений.

Ответ: если $a < -4$, то $x < \frac{1}{a + 4}$; если $a = -4$, то решений нет; если $a > -4$, то $x > \frac{1}{a + 4}$.

165. Решите уравнение:

1) $6x - 5x^2 = 0;$

2) $25x^2 = 81;$

3) $4x^2 - 7x - 2 = 0;$

4) $3x^2 + 8x - 3 = 0;$

5) $x^2 + x - 12 = 0;$

6) $2x^2 + 6x + 7 = 0.$

1) $6x - 5x^2 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(6 - 5x) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

$x_1 = 0$

или

$6 - 5x = 0$

$5x = 6$

$x_2 = \frac{6}{5} = 1,2$

Ответ: $0; 1,2$

2) $25x^2 = 81$

Это также неполное квадратное уравнение. Разделим обе части на 25, чтобы выразить $x^2$:

$x^2 = \frac{81}{25}$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что корень может быть как положительным, так и отрицательным:

$x = \pm\sqrt{\frac{81}{25}}$

$x_1 = \frac{9}{5} = 1,8$

$x_2 = -\frac{9}{5} = -1,8$

Ответ: $-1,8; 1,8$

3) $4x^2 - 7x - 2 = 0$

Это полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Решим его с помощью дискриминанта.

Коэффициенты: $a = 4, b = -7, c = -2$.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{7 + 9}{8} = \frac{16}{8} = 2$

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{7 - 9}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} = -0,25$

Ответ: $-0,25; 2$

4) $3x^2 + 8x - 3 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 3, b = 8, c = -3$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$

Дискриминант положителен, значит, есть два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$

Ответ: $-3; \frac{1}{3}$

5) $x^2 + x - 12 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 1, b = 1, c = -12$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$

$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4$

Ответ: $-4; 3$

6) $2x^2 + 6x + 7 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 2, b = 6, c = 7$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 36 - 56 = -20$

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет

166. Известно, что $m$ и $n$ — последовательные целые числа. Какое из следующих утверждений всегда является верным:

1) произведение $mn$ больше чем $m$;

2) произведение $mn$ больше чем $n$;

3) произведение $mn$ является чётным числом;

4) произведение $mn$ является нечётным числом?

По условию задачи, $m$ и $n$ являются последовательными целыми числами. Это означает, что если одно из них равно $k$, то другое равно $k+1$ или $k-1$. Проанализируем каждое из предложенных утверждений, чтобы определить, какое из них будет верным при любых значениях $m$ и $n$, удовлетворяющих этому условию.

1) произведение mn больше чем m;
Данное утверждение не всегда является верным. Чтобы опровергнуть утверждение, которое должно выполняться «всегда», достаточно привести хотя бы один контрпример. Например, пусть $m=1$ и $n=0$. Это последовательные целые числа. Их произведение $mn = 1 \cdot 0 = 0$. Проверим истинность неравенства $mn > m$. Подставив значения, получим $0 > 1$, что является ложным. Другой контрпример: $m=0$ и $n=1$. Произведение $mn=0$. Неравенство $mn>m$ принимает вид $0>0$, что также ложно. Следовательно, это утверждение не является всегда верным.
Ответ: неверно.

2) произведение mn больше чем n;
Это утверждение, аналогично предыдущему, не всегда верно. Возьмем в качестве контрпримера $n=1$ и $m=0$. Их произведение $mn = 0 \cdot 1 = 0$. Проверим неравенство $mn > n$. Подставив значения, получим $0 > 1$, что является ложным. Другой контрпример: $n=0$ и $m=-1$. Произведение $mn=0$. Неравенство $mn>n$ принимает вид $0>0$, что также ложно. Следовательно, это утверждение не является всегда верным.
Ответ: неверно.

3) произведение mn является чётным числом;
Это утверждение всегда верно. Среди двух последовательных целых чисел одно обязательно является чётным, а другое — нечётным.
Доказательство:
Случай 1: $m$ — чётное число. Тогда его можно представить в виде $m = 2k$ для некоторого целого $k$. Произведение $mn = (2k) \cdot n = 2(kn)$. Поскольку $k$ и $n$ — целые числа, их произведение $kn$ также является целым. Таким образом, $mn$ имеет вид $2 \cdot (\text{целое число})$, а значит, является чётным.
Случай 2: $m$ — нечётное число. Тогда следующее за ним (или предыдущее) число $n$ обязательно будет чётным. То есть $n$ можно представить в виде $n=2k$ для некоторого целого $k$. Произведение $mn = m \cdot (2k) = 2(mk)$. По аналогии со случаем 1, это число является чётным.
Поскольку любой случай приводит к тому, что произведение $mn$ является чётным, это утверждение всегда истинно.
Ответ: верно.

4) произведение mn является нечётным числом?
Это утверждение всегда ложно. Произведение двух целых чисел является нечётным только в том случае, если оба сомножителя являются нечётными числами. Так как $m$ и $n$ — последовательные целые числа, они не могут быть оба нечётными (одно из них чётное, другое нечётное). Следовательно, их произведение не может быть нечётным. Оно всегда будет чётным, как показано в пункте 3.
Ответ: неверно.

167. Сравните значения выражений:

1) $3\sqrt{98}$ и $4\sqrt{72}$;

2) $\frac{1}{2}\sqrt{68}$ и $\frac{4}{3}\sqrt{45}$;

3) $\frac{1}{6}\sqrt{108}$ и $6\sqrt{\frac{1}{12}}$.

1) Сравните значения выражений $3\sqrt{98}$ и $4\sqrt{72}$.

Для сравнения этих выражений упростим каждое из них, вынеся множитель из-под знака корня.

Упростим первое выражение. Разложим подкоренное число на множители так, чтобы один из них был полным квадратом:

$98 = 49 \cdot 2 = 7^2 \cdot 2$

Следовательно, $3\sqrt{98} = 3\sqrt{49 \cdot 2} = 3 \cdot (\sqrt{49} \cdot \sqrt{2}) = 3 \cdot 7\sqrt{2} = 21\sqrt{2}$.

Теперь упростим второе выражение:

$72 = 36 \cdot 2 = 6^2 \cdot 2$

Следовательно, $4\sqrt{72} = 4\sqrt{36 \cdot 2} = 4 \cdot (\sqrt{36} \cdot \sqrt{2}) = 4 \cdot 6\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$.

Теперь сравним полученные выражения: $21\sqrt{2}$ и $24\sqrt{2}$.

Так как оба выражения являются произведением положительных чисел, и $\sqrt{2}$ — общий множитель, для сравнения достаточно сравнить коэффициенты перед $\sqrt{2}$.

Поскольку $21 < 24$, то $21\sqrt{2} < 24\sqrt{2}$.

Таким образом, $3\sqrt{98} < 4\sqrt{72}$.

Ответ: $3\sqrt{98} < 4\sqrt{72}$.

2) Сравните значения выражений $\frac{1}{2}\sqrt{68}$ и $\frac{4}{3}\sqrt{45}$.

Упростим оба выражения.

Для первого выражения: $68 = 4 \cdot 17 = 2^2 \cdot 17$.

$\frac{1}{2}\sqrt{68} = \frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot 17} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{17} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{17} = \sqrt{17}$.

Для второго выражения: $45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.

$\frac{4}{3}\sqrt{45} = \frac{4}{3}\sqrt{9 \cdot 5} = \frac{4}{3} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = \frac{4}{3} \cdot 3\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$.

Теперь необходимо сравнить $\sqrt{17}$ и $4\sqrt{5}$. Для этого внесем множитель 4 под знак корня во втором выражении:

$4\sqrt{5} = \sqrt{4^2 \cdot 5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}$.

Сравним $\sqrt{17}$ и $\sqrt{80}$. Так как функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для $x \ge 0$, то из $17 < 80$ следует, что $\sqrt{17} < \sqrt{80}$.

Таким образом, $\frac{1}{2}\sqrt{68} < \frac{4}{3}\sqrt{45}$.

Ответ: $\frac{1}{2}\sqrt{68} < \frac{4}{3}\sqrt{45}$.

3) Сравните значения выражений $\frac{1}{6}\sqrt{108}$ и $6\sqrt{\frac{1}{12}}$.

Упростим каждое выражение.

Упростим первое выражение, вынеся множитель из-под знака корня:

$108 = 36 \cdot 3 = 6^2 \cdot 3$

$\frac{1}{6}\sqrt{108} = \frac{1}{6}\sqrt{36 \cdot 3} = \frac{1}{6} \cdot 6\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Упростим второе выражение, внеся множитель под знак корня:

$6\sqrt{\frac{1}{12}} = \sqrt{6^2 \cdot \frac{1}{12}} = \sqrt{36 \cdot \frac{1}{12}} = \sqrt{\frac{36}{12}} = \sqrt{3}$.

Оба выражения равны $\sqrt{3}$.

Следовательно, значения выражений равны.

Ответ: $\frac{1}{6}\sqrt{108} = 6\sqrt{\frac{1}{12}}$.

168. Чтобы наполнить бассейн водой через одну трубу, требуется в 1,5 раза больше времени, чем для того, чтобы наполнить его через вторую трубу. Если же открыть одновременно обе трубы, то бассейн наполнится за 6 ч. За сколько часов можно наполнить бассейн через каждую трубу отдельно?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть вся работа по наполнению бассейна равна 1.

Пусть $t_1$ – время (в часах), необходимое для наполнения бассейна через первую трубу, и $t_2$ – время (в часах), необходимое для наполнения бассейна через вторую трубу.

Тогда производительность (скорость наполнения) первой трубы составляет $P_1 = \frac{1}{t_1}$ (часть бассейна в час), а производительность второй трубы – $P_2 = \frac{1}{t_2}$ (часть бассейна в час).

Согласно условию, первой трубе требуется в 1,5 раза больше времени, чем второй. Это можно записать в виде уравнения:

$t_1 = 1.5 \cdot t_2$

Когда обе трубы открыты одновременно, их общая производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $P_{общ} = P_1 + P_2$. По условию, вместе они наполняют бассейн за 6 часов, значит, их общая производительность равна $\frac{1}{6}$ бассейна в час. Получаем второе уравнение:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} t_1 = 1.5 t_2 \\ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6} \end{cases} $

Подставим выражение для $t_1$ из первого уравнения во второе:

$\frac{1}{1.5 t_2} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6}$

Чтобы сложить дроби в левой части, приведем их к общему знаменателю $1.5 t_2$:

$\frac{1}{1.5 t_2} + \frac{1.5}{1.5 t_2} = \frac{1}{6}$

$\frac{1 + 1.5}{1.5 t_2} = \frac{1}{6}$

$\frac{2.5}{1.5 t_2} = \frac{1}{6}$

Решим полученное уравнение методом перекрестного умножения:

$2.5 \cdot 6 = 1.5 t_2 \cdot 1$

$15 = 1.5 t_2$

Теперь найдем $t_2$:

$t_2 = \frac{15}{1.5} = 10$

Таким образом, время наполнения бассейна через вторую трубу составляет 10 часов.

Теперь найдем время для первой трубы, подставив значение $t_2$ в первое уравнение системы:

$t_1 = 1.5 \cdot t_2 = 1.5 \cdot 10 = 15$

Время наполнения бассейна через первую трубу составляет 15 часов.

Ответ: через первую трубу бассейн можно наполнить за 15 часов, а через вторую — за 10 часов.