Номер 161, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

161. Существует ли такое значение $a$, при котором не имеет решений неравенство (в случае утвердительного ответа укажите это значение):

1) $ax > 3x + 4;$

2) $(a^2 - a - 2)x \le a - 2?$

1) Перепишем данное неравенство $ax > 3x + 4$ в виде $(a - 3)x > 4$. Это линейное неравенство относительно переменной $x$. Оно не имеет решений в том случае, когда коэффициент при $x$ равен нулю, а получившееся числовое неравенство является неверным. Приравняем коэффициент при $x$ к нулю: $a - 3 = 0$, откуда $a = 3$. Подставим это значение в неравенство: $0 \cdot x > 4$, или $0 > 4$. Это неверное утверждение, следовательно, при $a=3$ неравенство не имеет решений.
Ответ: Да, существует, $a = 3$.

2) Рассмотрим неравенство $(a^2 - a - 2)x \le a - 2$. Данное линейное неравенство не имеет решений, если коэффициент при $x$ равен нулю, а итоговое числовое неравенство ложно. Найдем значения параметра $a$, при которых коэффициент при $x$ обращается в ноль, решив уравнение: $a^2 - a - 2 = 0$. Разложим левую часть на множители: $(a - 2)(a + 1) = 0$. Отсюда получаем два возможных значения: $a_1 = 2$ и $a_2 = -1$. Проверим каждое из них.
1. При $a = 2$ неравенство принимает вид: $(2^2 - 2 - 2)x \le 2 - 2$, что упрощается до $0 \cdot x \le 0$, или $0 \le 0$. Это неравенство верно для любого действительного числа $x$, следовательно, решения есть.
2. При $a = -1$ неравенство принимает вид: $((-1)^2 - (-1) - 2)x \le -1 - 2$, что упрощается до $0 \cdot x \le -3$, или $0 \le -3$. Это неверное числовое неравенство, поэтому при $a = -1$ решений нет.
Ответ: Да, существует, $a = -1$.