Номер 158, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

158. При каких значениях $m$ уравнение:

1) $2 + 4x = m - 6$ имеет неотрицательный корень;

2) $mx = m^2 - 7m$ имеет единственный отрицательный корень?

1) Решим уравнение $2 + 4x = m - 6$ относительно $x$. Для этого выразим $x$ через $m$:

$4x = m - 6 - 2$

$4x = m - 8$

$x = \frac{m-8}{4}$

По условию, корень уравнения должен быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Подставим найденное выражение для $x$ в это неравенство:

$\frac{m-8}{4} \ge 0$

Так как знаменатель 4 — положительное число, знак неравенства сохранится, если мы умножим обе части на 4:

$m - 8 \ge 0$

$m \ge 8$

Следовательно, уравнение имеет неотрицательный корень при всех значениях $m$, которые больше или равны 8.

Ответ: $m \in [8, +\infty)$.

2) Рассмотрим уравнение $mx = m^2 - 7m$.

Это линейное уравнение вида $ax=b$, где $a=m$ и $b=m^2-7m$. Уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $m \ne 0$.

Рассмотрим случай, когда $m \ne 0$. В этом случае мы можем найти единственный корень, разделив обе части уравнения на $m$:

$x = \frac{m^2 - 7m}{m}$

$x = \frac{m(m-7)}{m}$

$x = m - 7$

По условию задачи, этот корень должен быть отрицательным, то есть $x < 0$.

$m - 7 < 0$

$m < 7$

Таким образом, мы имеем два условия: $m \ne 0$ и $m < 7$.

Рассмотрим случай, когда $m=0$. Уравнение принимает вид:

$0 \cdot x = 0^2 - 7 \cdot 0$

$0 \cdot x = 0$

Это равенство верно для любого действительного числа $x$. Значит, при $m=0$ уравнение имеет бесконечно много корней, что не удовлетворяет условию о единственном корне.

Объединяя условия $m \ne 0$ и $m < 7$, получаем искомые значения $m$.

Ответ: $m \in (-\infty, 0) \cup (0, 7)$.