Номер 154, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

154. Решите уравнение:

1) $|x+5|+2x=7;$

2) $|3-2x|-x=9.$

1) $|x + 5| + 2x = 7$

Для решения этого уравнения, содержащего модуль, необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под знаком модуля.

Критическая точка, в которой выражение под модулем равно нулю: $x + 5 = 0$, откуда $x = -5$. Эта точка делит числовую прямую на два промежутка.

Случай 1: Выражение под модулем неотрицательно, то есть $x + 5 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge -5$.

В этом случае модуль раскрывается со знаком плюс: $|x + 5| = x + 5$. Уравнение принимает вид:

$(x + 5) + 2x = 7$

$3x + 5 = 7$

$3x = 7 - 5$

$3x = 2$

$x = \frac{2}{3}$

Проверим, соответствует ли найденный корень условию этого случая ($x \ge -5$). Поскольку $\frac{2}{3} \ge -5$, корень $x = \frac{2}{3}$ является решением уравнения.

Случай 2: Выражение под модулем отрицательно, то есть $x + 5 < 0$, что эквивалентно $x < -5$.

В этом случае модуль раскрывается со знаком минус: $|x + 5| = -(x + 5) = -x - 5$. Уравнение принимает вид:

$(-x - 5) + 2x = 7$

$x - 5 = 7$

$x = 12$

Проверим, соответствует ли найденный корень условию этого случая ($x < -5$). Поскольку $12 \not< -5$, этот корень является посторонним и не подходит.

Следовательно, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $\frac{2}{3}$

2) $|3 - 2x| - x = 9$

Решим это уравнение, также рассмотрев два случая раскрытия модуля.

Критическая точка: $3 - 2x = 0$, откуда $2x = 3$, $x = \frac{3}{2}$ или $x = 1.5$.

Случай 1: Выражение под модулем неотрицательно, то есть $3 - 2x \ge 0$, что эквивалентно $x \le \frac{3}{2}$.

В этом случае $|3 - 2x| = 3 - 2x$. Уравнение принимает вид:

$(3 - 2x) - x = 9$

$3 - 3x = 9$

$-3x = 9 - 3$

$-3x = 6$

$x = -2$

Проверим выполнение условия $x \le \frac{3}{2}$. Поскольку $-2 \le \frac{3}{2}$, корень $x = -2$ является решением.

Случай 2: Выражение под модулем отрицательно, то есть $3 - 2x < 0$, что эквивалентно $x > \frac{3}{2}$.

В этом случае $|3 - 2x| = -(3 - 2x) = 2x - 3$. Уравнение принимает вид:

$(2x - 3) - x = 9$

$x - 3 = 9$

$x = 12$

Проверим выполнение условия $x > \frac{3}{2}$. Поскольку $12 > \frac{3}{2}$, корень $x = 12$ также является решением.

Следовательно, данное уравнение имеет два корня.

Ответ: $-2; 12$