Номер 151, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

151. При каких значениях x определена функция:

1) $f(x) = \sqrt{x+4} + \frac{1}{x-2}$;

2) $f(x) = \sqrt{24-8x} + \frac{6}{x^2-16}$;

3) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3x+9}} - \frac{8}{|x|-2}$;

4) $f(x) = \sqrt{x+1} + \frac{4}{x^2-1}$?

1)

Область определения функции $f(x) = \sqrt{x+4} + \frac{1}{x-2}$ задается системой условий, при которых все ее части имеют смысл:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x+4 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x-2 \neq 0$.

Получаем систему:

$\begin{cases} x+4 \ge 0 \\ x-2 \neq 0 \end{cases}$

Из первого неравенства следует: $x \ge -4$.

Из второго условия следует: $x \neq 2$.

Объединяя эти два условия, получаем, что $x$ может быть любым числом из промежутка $[-4, +\infty)$, за исключением точки $x=2$.

Ответ: $x \in [-4, 2) \cup (2, +\infty)$.

2)

Область определения функции $f(x) = \sqrt{24 - 8x} + \frac{6}{x^2 - 16}$ задается системой условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $24 - 8x \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - 16 \neq 0$.

Решим систему:

$\begin{cases} 24 - 8x \ge 0 \\ x^2 - 16 \neq 0 \end{cases}$

Решаем первое неравенство: $24 \ge 8x$, что равносильно $3 \ge x$ или $x \le 3$.

Решаем второе условие: $x^2 \neq 16$, откуда $x \neq 4$ и $x \neq -4$.

Сопоставим полученные результаты. Нам нужны значения $x$, которые удовлетворяют условию $x \le 3$ и при этом не равны $4$ и $-4$. Условие $x \neq 4$ автоматически выполняется, так как все значения $x$ меньше или равны 3. Остается исключить значение $x = -4$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, 3]$.

3)

Область определения функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3x+9}} - \frac{8}{|x|-2}$ задается системой условий:

1. Выражение под знаком корня в знаменателе должно быть строго положительным (неотрицательным из-за корня и не равным нулю из-за знаменателя): $3x+9 > 0$.

2. Знаменатель второй дроби не должен быть равен нулю: $|x|-2 \neq 0$.

Решим систему:

$\begin{cases} 3x+9 > 0 \\ |x|-2 \neq 0 \end{cases}$

Из первого неравенства: $3x > -9$, откуда $x > -3$.

Из второго условия: $|x| \neq 2$, что означает $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Объединяем условия: нам нужны значения $x$, которые строго больше $-3$, но при этом не равны $-2$ и $2$. Оба эти значения попадают в промежуток $(-3, +\infty)$, поэтому их необходимо исключить.

Ответ: $x \in (-3, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.

4)

Область определения функции $f(x) = \sqrt{x+1} + \frac{4}{x^2-1}$ задается системой условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0$.

Решим систему:

$\begin{cases} x+1 \ge 0 \\ x^2 - 1 \neq 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем: $x \ge -1$.

Из второго условия, разложив его на множители: $(x-1)(x+1) \neq 0$, получаем $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Совмещаем условия $x \ge -1$ и $x \neq -1$. Это эквивалентно строгому неравенству $x > -1$. Также необходимо учесть условие $x \neq 1$.

Ответ: $x \in (-1, 1) \cup (1, +\infty)$.