Номер 157, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

157. При каких значениях $a$ уравнение:

1) $4x + a = 2$ имеет положительный корень;

2) $(a + 6)x = 3$ имеет отрицательный корень;

3) $(a - 1)x = a^2 - 1$ имеет единственный положительный корень?

1) 4x + a = 2 имеет положительный корень;

Данное уравнение является линейным относительно переменной $x$.
Для того чтобы найти корень уравнения, выразим $x$ через параметр $a$:
$4x = 2 - a$
$x = \frac{2 - a}{4}$
По условию задачи, корень уравнения должен быть положительным, то есть $x > 0$.
Составим и решим неравенство относительно $a$:
$\frac{2 - a}{4} > 0$
Так как знаменатель дроби (число 4) положителен, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы числитель был также положителен:
$2 - a > 0$
Перенесем $a$ в правую часть:
$2 > a$
Или, что то же самое, $a < 2$.
Следовательно, при $a < 2$ уравнение имеет положительный корень.
Ответ: $a \in (-\infty; 2)$.

2) (a + 6)x = 3 имеет отрицательный корень;

Это линейное уравнение вида $Bx = C$, где $B = a+6$ и $C = 3$.
Уравнение имеет единственный корень, если коэффициент при $x$ не равен нулю.
Рассмотрим случай, когда $a + 6 = 0$, то есть $a = -6$.
Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 3$. Это равенство неверно, следовательно, при $a = -6$ уравнение корней не имеет.
Если $a + 6 \neq 0$ (то есть $a \neq -6$), уравнение имеет единственный корень, который можно найти, разделив обе части на $(a+6)$:
$x = \frac{3}{a + 6}$
По условию, этот корень должен быть отрицательным: $x < 0$.
$\frac{3}{a + 6} < 0$
Так как числитель дроби (число 3) положителен, для того, чтобы вся дробь была отрицательной, ее знаменатель должен быть отрицательным:
$a + 6 < 0$
$a < -6$
Это условие не противоречит ранее найденному ограничению $a \neq -6$.
Ответ: $a \in (-\infty; -6)$.

3) (a - 1)x = a² - 1 имеет единственный положительный корень?

Это линейное уравнение. Заметим, что правую часть можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$.
Тогда уравнение примет вид:
$(a - 1)x = (a - 1)(a + 1)$
Проанализируем уравнение в зависимости от значения коэффициента при $x$.
Случай 1: Коэффициент при $x$ равен нулю.
$a - 1 = 0 \implies a = 1$.
Подставим $a = 1$ в уравнение: $(1 - 1)x = (1 - 1)(1 + 1) \implies 0 \cdot x = 0$.
Это равенство верно при любом значении $x$. Таким образом, при $a=1$ уравнение имеет бесконечное множество корней. Это не удовлетворяет условию о наличии единственного корня.
Случай 2: Коэффициент при $x$ не равен нулю.
$a - 1 \neq 0 \implies a \neq 1$.
В этом случае уравнение имеет единственный корень. Для его нахождения разделим обе части уравнения на $(a - 1)$:
$x = \frac{(a - 1)(a + 1)}{a - 1}$
$x = a + 1$
Согласно условию, этот единственный корень должен быть положительным, то есть $x > 0$.
$a + 1 > 0$
$a > -1$
Таким образом, для выполнения условий задачи необходимо, чтобы одновременно выполнялись два неравенства: $a > -1$ и $a \neq 1$.
Это означает, что подходят все числа из интервала $(-1; +\infty)$, за исключением числа 1.
Ответ: $a \in (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.