Номер 164, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

164. Для каждого значения $a$ решите неравенство:

1) $a^2 x \leq 0$;

2) $a + x < 2 - ax$;

3) $(a + 4)x > 1$.

1) Решим неравенство $a^2x \le 0$.

Это линейное неравенство относительно переменной $x$. Решение зависит от коэффициента при $x$, который равен $a^2$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $a = 0$.

В этом случае коэффициент при $x$ равен $0^2 = 0$. Неравенство принимает вид:

$0 \cdot x \le 0$

$0 \le 0$

Это верное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Следовательно, при $a=0$ решением является любое действительное число.

Случай 2: $a \ne 0$.

В этом случае коэффициент $a^2$ строго больше нуля ($a^2 > 0$). Мы можем разделить обе части неравенства на $a^2$, сохранив знак неравенства:

$x \le \frac{0}{a^2}$

$x \le 0$

Следовательно, при $a \ne 0$ решением является промежуток $(-\infty, 0]$.

Ответ: если $a = 0$, то $x$ — любое число ($x \in \mathbb{R}$); если $a \ne 0$, то $x \le 0$.

2) Решим неравенство $a + x < 2 - ax$.

Сначала преобразуем неравенство, собрав все слагаемые с $x$ в левой части, а остальные — в правой:

$x + ax < 2 - a$

$x(1 + a) < 2 - a$

Решение этого линейного неравенства зависит от знака коэффициента при $x$, то есть от выражения $1+a$. Рассмотрим три случая.

Случай 1: $1 + a > 0$, то есть $a > -1$.

Делим обе части неравенства на положительное число $1+a$, знак неравенства сохраняется:

$x < \frac{2 - a}{1 + a}$

Случай 2: $1 + a < 0$, то есть $a < -1$.

Делим обе части неравенства на отрицательное число $1+a$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{2 - a}{1 + a}$

Случай 3: $1 + a = 0$, то есть $a = -1$.

Неравенство принимает вид:

$x \cdot 0 < 2 - (-1)$

$0 < 3$

Это верное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Следовательно, при $a=-1$ решением является любое действительное число.

Ответ: если $a < -1$, то $x > \frac{2 - a}{1 + a}$; если $a = -1$, то $x$ — любое число ($x \in \mathbb{R}$); если $a > -1$, то $x < \frac{2 - a}{1 + a}$.

3) Решим неравенство $(a + 4)x > 1$.

Это линейное неравенство, решение которого зависит от знака коэффициента при $x$, то есть от выражения $a+4$. Рассмотрим три случая.

Случай 1: $a + 4 > 0$, то есть $a > -4$.

Делим обе части на положительное число $a+4$, знак неравенства сохраняется:

$x > \frac{1}{a + 4}$

Случай 2: $a + 4 < 0$, то есть $a < -4$.

Делим обе части на отрицательное число $a+4$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{1}{a + 4}$

Случай 3: $a + 4 = 0$, то есть $a = -4$.

Неравенство принимает вид:

$0 \cdot x > 1$

$0 > 1$

Это неверное числовое неравенство. Следовательно, при $a = -4$ неравенство не имеет решений.

Ответ: если $a < -4$, то $x < \frac{1}{a + 4}$; если $a = -4$, то решений нет; если $a > -4$, то $x > \frac{1}{a + 4}$.