Номер 167, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

167. Сравните значения выражений:

1) $3\sqrt{98}$ и $4\sqrt{72}$;

2) $\frac{1}{2}\sqrt{68}$ и $\frac{4}{3}\sqrt{45}$;

3) $\frac{1}{6}\sqrt{108}$ и $6\sqrt{\frac{1}{12}}$.

1) Сравните значения выражений $3\sqrt{98}$ и $4\sqrt{72}$.

Для сравнения этих выражений упростим каждое из них, вынеся множитель из-под знака корня.

Упростим первое выражение. Разложим подкоренное число на множители так, чтобы один из них был полным квадратом:

$98 = 49 \cdot 2 = 7^2 \cdot 2$

Следовательно, $3\sqrt{98} = 3\sqrt{49 \cdot 2} = 3 \cdot (\sqrt{49} \cdot \sqrt{2}) = 3 \cdot 7\sqrt{2} = 21\sqrt{2}$.

Теперь упростим второе выражение:

$72 = 36 \cdot 2 = 6^2 \cdot 2$

Следовательно, $4\sqrt{72} = 4\sqrt{36 \cdot 2} = 4 \cdot (\sqrt{36} \cdot \sqrt{2}) = 4 \cdot 6\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$.

Теперь сравним полученные выражения: $21\sqrt{2}$ и $24\sqrt{2}$.

Так как оба выражения являются произведением положительных чисел, и $\sqrt{2}$ — общий множитель, для сравнения достаточно сравнить коэффициенты перед $\sqrt{2}$.

Поскольку $21 < 24$, то $21\sqrt{2} < 24\sqrt{2}$.

Таким образом, $3\sqrt{98} < 4\sqrt{72}$.

Ответ: $3\sqrt{98} < 4\sqrt{72}$.

2) Сравните значения выражений $\frac{1}{2}\sqrt{68}$ и $\frac{4}{3}\sqrt{45}$.

Упростим оба выражения.

Для первого выражения: $68 = 4 \cdot 17 = 2^2 \cdot 17$.

$\frac{1}{2}\sqrt{68} = \frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot 17} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{17} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{17} = \sqrt{17}$.

Для второго выражения: $45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.

$\frac{4}{3}\sqrt{45} = \frac{4}{3}\sqrt{9 \cdot 5} = \frac{4}{3} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = \frac{4}{3} \cdot 3\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$.

Теперь необходимо сравнить $\sqrt{17}$ и $4\sqrt{5}$. Для этого внесем множитель 4 под знак корня во втором выражении:

$4\sqrt{5} = \sqrt{4^2 \cdot 5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}$.

Сравним $\sqrt{17}$ и $\sqrt{80}$. Так как функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для $x \ge 0$, то из $17 < 80$ следует, что $\sqrt{17} < \sqrt{80}$.

Таким образом, $\frac{1}{2}\sqrt{68} < \frac{4}{3}\sqrt{45}$.

Ответ: $\frac{1}{2}\sqrt{68} < \frac{4}{3}\sqrt{45}$.

3) Сравните значения выражений $\frac{1}{6}\sqrt{108}$ и $6\sqrt{\frac{1}{12}}$.

Упростим каждое выражение.

Упростим первое выражение, вынеся множитель из-под знака корня:

$108 = 36 \cdot 3 = 6^2 \cdot 3$

$\frac{1}{6}\sqrt{108} = \frac{1}{6}\sqrt{36 \cdot 3} = \frac{1}{6} \cdot 6\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Упростим второе выражение, внеся множитель под знак корня:

$6\sqrt{\frac{1}{12}} = \sqrt{6^2 \cdot \frac{1}{12}} = \sqrt{36 \cdot \frac{1}{12}} = \sqrt{\frac{36}{12}} = \sqrt{3}$.

Оба выражения равны $\sqrt{3}$.

Следовательно, значения выражений равны.

Ответ: $\frac{1}{6}\sqrt{108} = 6\sqrt{\frac{1}{12}}$.