Номер 165, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

165. Решите уравнение:

1) $6x - 5x^2 = 0;$

2) $25x^2 = 81;$

3) $4x^2 - 7x - 2 = 0;$

4) $3x^2 + 8x - 3 = 0;$

5) $x^2 + x - 12 = 0;$

6) $2x^2 + 6x + 7 = 0.$

1) $6x - 5x^2 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(6 - 5x) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

$x_1 = 0$

или

$6 - 5x = 0$

$5x = 6$

$x_2 = \frac{6}{5} = 1,2$

Ответ: $0; 1,2$

2) $25x^2 = 81$

Это также неполное квадратное уравнение. Разделим обе части на 25, чтобы выразить $x^2$:

$x^2 = \frac{81}{25}$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что корень может быть как положительным, так и отрицательным:

$x = \pm\sqrt{\frac{81}{25}}$

$x_1 = \frac{9}{5} = 1,8$

$x_2 = -\frac{9}{5} = -1,8$

Ответ: $-1,8; 1,8$

3) $4x^2 - 7x - 2 = 0$

Это полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Решим его с помощью дискриминанта.

Коэффициенты: $a = 4, b = -7, c = -2$.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{7 + 9}{8} = \frac{16}{8} = 2$

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{7 - 9}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} = -0,25$

Ответ: $-0,25; 2$

4) $3x^2 + 8x - 3 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 3, b = 8, c = -3$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$

Дискриминант положителен, значит, есть два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$

Ответ: $-3; \frac{1}{3}$

5) $x^2 + x - 12 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 1, b = 1, c = -12$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$

$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4$

Ответ: $-4; 3$

6) $2x^2 + 6x + 7 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 2, b = 6, c = 7$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 36 - 56 = -20$

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет