Номер 1, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что называют областью определения выражения?

1. Что называют областью определения выражения?

Областью определения выражения (также известной как область допустимых значений или ОДЗ) называют множество всех значений переменных, при которых данное выражение имеет математический смысл. Другими словами, это все те значения переменных, для которых можно выполнить все указанные в выражении математические операции.

При нахождении области определения выражения необходимо учитывать следующие основные ограничения, которые делают операции невыполнимыми:

• Деление на ноль. Если в выражении есть дробь вида $\frac{A}{B}$, то ее знаменатель не может быть равен нулю. То есть, должно выполняться условие $B \neq 0$.
  Пример: В выражении $\frac{x+5}{x-2}$ знаменатель $x-2$ не может быть равен нулю. Следовательно, $x-2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$. Область определения: все числа, кроме 2, или $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
• Извлечение корня четной степени. Выражение, стоящее под знаком корня четной степени (квадратного, четвертой степени и т.д.), должно быть неотрицательным (то есть больше или равно нулю). Для выражения $\sqrt[2n]{A}$, где $n$ — натуральное число, должно выполняться условие $A \ge 0$.
  Пример: В выражении $\sqrt{x-7}$ подкоренное выражение $x-7$ должно быть неотрицательным. Следовательно, $x-7 \ge 0$, откуда $x \ge 7$. Область определения: промежуток $[7; +\infty)$.
• Логарифмические выражения. В выражении $\log_a(b)$ основание логарифма $a$ должно быть больше нуля и не равно единице ($a > 0, a \neq 1$), а аргумент логарифма $b$ должен быть строго больше нуля ($b > 0$).
  Пример: В выражении $\log_3(x+4)$ аргумент $x+4$ должен быть строго положительным. Следовательно, $x+4 > 0$, откуда $x > -4$. Область определения: промежуток $(-4; +\infty)$.

Если в выражении сочетаются несколько ограничений, то его область определения находится как пересечение множеств решений для каждого из этих ограничений.

Комбинированный пример: Найти область определения выражения $\frac{\sqrt{x+1}}{x-3}$.
Здесь присутствуют два ограничения:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.
Чтобы найти общую область определения, нужно удовлетворить обоим условиям одновременно. Это все числа, которые больше или равны -1, за исключением числа 3. В виде промежутков это записывается как $[-1; 3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: Областью определения выражения называют множество всех значений входящих в него переменных, при которых данное выражение имеет смысл, то есть все математические операции, из которых оно состоит, выполнимы.