Номер 5, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

5. Что означает решить систему неравенств?

Решить систему неравенств — это значит найти все значения переменной (или переменных), при подстановке которых каждое из неравенств, входящих в систему, обращается в верное числовое неравенство. Множество всех таких значений, которые удовлетворяют одновременно всем неравенствам, и является решением системы.

Процесс решения заключается в нахождении пересечения множеств решений каждого отдельного неравенства. То есть, мы ищем те значения переменной, которые являются решениями для всех неравенств одновременно.

Рассмотрим наглядный пример. Пусть дана система неравенств с одной переменной $x$:

$$ \begin{cases} x > 2 \\ x < 5 \end{cases} $$

1. Сначала решим каждое неравенство отдельно.
   • Решением первого неравенства $x > 2$ является множество всех чисел, больших 2. Геометрически это числовой луч, который можно записать в виде промежутка $(2; +\infty)$.
   • Решением второго неравенства $x < 5$ является множество всех чисел, меньших 5. Геометрически это числовой луч $(-\infty; 5)$.
2. Теперь найдем общую часть (пересечение) полученных множеств решений. Нам нужно найти такие числа $x$, которые одновременно и больше 2, и меньше 5. Пересечением промежутков $(2; +\infty)$ и $(-\infty; 5)$ является интервал $(2; 5)$.

Это и есть решение системы. Любое число из интервала $(2; 5)$ (например, 3 или 4.1) сделает оба неравенства в системе верными.

Если бы пересечение множеств решений оказалось пустым (например, для системы $x > 5$ и $x < 2$), это означало бы, что система не имеет решений.

Ответ: Решить систему неравенств означает найти множество всех её частных решений, то есть найти пересечение множеств решений каждого из неравенств, входящих в систему.