Номер 168, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

168. Чтобы наполнить бассейн водой через одну трубу, требуется в 1,5 раза больше времени, чем для того, чтобы наполнить его через вторую трубу. Если же открыть одновременно обе трубы, то бассейн наполнится за 6 ч. За сколько часов можно наполнить бассейн через каждую трубу отдельно?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть вся работа по наполнению бассейна равна 1.

Пусть $t_1$ – время (в часах), необходимое для наполнения бассейна через первую трубу, и $t_2$ – время (в часах), необходимое для наполнения бассейна через вторую трубу.

Тогда производительность (скорость наполнения) первой трубы составляет $P_1 = \frac{1}{t_1}$ (часть бассейна в час), а производительность второй трубы – $P_2 = \frac{1}{t_2}$ (часть бассейна в час).

Согласно условию, первой трубе требуется в 1,5 раза больше времени, чем второй. Это можно записать в виде уравнения:

$t_1 = 1.5 \cdot t_2$

Когда обе трубы открыты одновременно, их общая производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $P_{общ} = P_1 + P_2$. По условию, вместе они наполняют бассейн за 6 часов, значит, их общая производительность равна $\frac{1}{6}$ бассейна в час. Получаем второе уравнение:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} t_1 = 1.5 t_2 \\ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6} \end{cases} $

Подставим выражение для $t_1$ из первого уравнения во второе:

$\frac{1}{1.5 t_2} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6}$

Чтобы сложить дроби в левой части, приведем их к общему знаменателю $1.5 t_2$:

$\frac{1}{1.5 t_2} + \frac{1.5}{1.5 t_2} = \frac{1}{6}$

$\frac{1 + 1.5}{1.5 t_2} = \frac{1}{6}$

$\frac{2.5}{1.5 t_2} = \frac{1}{6}$

Решим полученное уравнение методом перекрестного умножения:

$2.5 \cdot 6 = 1.5 t_2 \cdot 1$

$15 = 1.5 t_2$

Теперь найдем $t_2$:

$t_2 = \frac{15}{1.5} = 10$

Таким образом, время наполнения бассейна через вторую трубу составляет 10 часов.

Теперь найдем время для первой трубы, подставив значение $t_2$ в первое уравнение системы:

$t_1 = 1.5 \cdot t_2 = 1.5 \cdot 10 = 15$

Время наполнения бассейна через первую трубу составляет 15 часов.

Ответ: через первую трубу бассейн можно наполнить за 15 часов, а через вторую — за 10 часов.