Номер 166, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

166. Известно, что $m$ и $n$ — последовательные целые числа. Какое из следующих утверждений всегда является верным:

1) произведение $mn$ больше чем $m$;

2) произведение $mn$ больше чем $n$;

3) произведение $mn$ является чётным числом;

4) произведение $mn$ является нечётным числом?

По условию задачи, $m$ и $n$ являются последовательными целыми числами. Это означает, что если одно из них равно $k$, то другое равно $k+1$ или $k-1$. Проанализируем каждое из предложенных утверждений, чтобы определить, какое из них будет верным при любых значениях $m$ и $n$, удовлетворяющих этому условию.

1) произведение mn больше чем m;
Данное утверждение не всегда является верным. Чтобы опровергнуть утверждение, которое должно выполняться «всегда», достаточно привести хотя бы один контрпример. Например, пусть $m=1$ и $n=0$. Это последовательные целые числа. Их произведение $mn = 1 \cdot 0 = 0$. Проверим истинность неравенства $mn > m$. Подставив значения, получим $0 > 1$, что является ложным. Другой контрпример: $m=0$ и $n=1$. Произведение $mn=0$. Неравенство $mn>m$ принимает вид $0>0$, что также ложно. Следовательно, это утверждение не является всегда верным.
Ответ: неверно.

2) произведение mn больше чем n;
Это утверждение, аналогично предыдущему, не всегда верно. Возьмем в качестве контрпримера $n=1$ и $m=0$. Их произведение $mn = 0 \cdot 1 = 0$. Проверим неравенство $mn > n$. Подставив значения, получим $0 > 1$, что является ложным. Другой контрпример: $n=0$ и $m=-1$. Произведение $mn=0$. Неравенство $mn>n$ принимает вид $0>0$, что также ложно. Следовательно, это утверждение не является всегда верным.
Ответ: неверно.

3) произведение mn является чётным числом;
Это утверждение всегда верно. Среди двух последовательных целых чисел одно обязательно является чётным, а другое — нечётным.
Доказательство:
Случай 1: $m$ — чётное число. Тогда его можно представить в виде $m = 2k$ для некоторого целого $k$. Произведение $mn = (2k) \cdot n = 2(kn)$. Поскольку $k$ и $n$ — целые числа, их произведение $kn$ также является целым. Таким образом, $mn$ имеет вид $2 \cdot (\text{целое число})$, а значит, является чётным.
Случай 2: $m$ — нечётное число. Тогда следующее за ним (или предыдущее) число $n$ обязательно будет чётным. То есть $n$ можно представить в виде $n=2k$ для некоторого целого $k$. Произведение $mn = m \cdot (2k) = 2(mk)$. По аналогии со случаем 1, это число является чётным.
Поскольку любой случай приводит к тому, что произведение $mn$ является чётным, это утверждение всегда истинно.
Ответ: верно.

4) произведение mn является нечётным числом?
Это утверждение всегда ложно. Произведение двух целых чисел является нечётным только в том случае, если оба сомножителя являются нечётными числами. Так как $m$ и $n$ — последовательные целые числа, они не могут быть оба нечётными (одно из них чётное, другое нечётное). Следовательно, их произведение не может быть нечётным. Оно всегда будет чётным, как показано в пункте 3.
Ответ: неверно.