Номер 160, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

160. Найдите все значения $a$, при которых не имеет корней уравнение $(a-2)x^2 + (2a+1)x + a = 0$.

Данное уравнение $(a-2)x^2 + (2a+1)x + a = 0$ является уравнением с параметром. В зависимости от значения a оно может быть квадратным или линейным. Уравнение не будет иметь корней, если:
1) оно является линейным ($kx+b=0$) и при этом $k=0$, а $b\neq0$.
2) оно является квадратным и его дискриминант $D$ отрицателен.
Рассмотрим эти два случая.

Случай 1: Уравнение является линейным

Уравнение становится линейным, если коэффициент при $x^2$ обращается в ноль.
$a - 2 = 0$, откуда $a = 2$.
Подставим это значение a в исходное уравнение:
$(2-2)x^2 + (2 \cdot 2 + 1)x + 2 = 0$
$0 \cdot x^2 + 5x + 2 = 0$
$5x + 2 = 0$
В этом случае уравнение имеет единственный корень $x = -2/5$. Следовательно, значение $a=2$ не удовлетворяет условию задачи.

Случай 2: Уравнение является квадратным

Уравнение является квадратным, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a - 2 \neq 0$, или $a \neq 2$.
Квадратное уравнение не имеет действительных корней, когда его дискриминант $D$ меньше нуля.
Вычислим дискриминант:
$D = (2a+1)^2 - 4(a-2)a$
$D = (4a^2 + 4a + 1) - (4a^2 - 8a)$
$D = 4a^2 + 4a + 1 - 4a^2 + 8a = 12a + 1$
Теперь решим неравенство $D < 0$:
$12a + 1 < 0$
$12a < -1$
$a < -\frac{1}{12}$
Найденный интервал $a \in (-\infty; -1/12)$ удовлетворяет условию $a \neq 2$.

Объединяя результаты анализа обоих случаев, мы заключаем, что исходное уравнение не имеет корней при $a < -\frac{1}{12}$.

Ответ: $a \in (-\infty; -1/12)$.