Номер 162, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

162. Существует ли такое значение a, при котором любое число является решением неравенства (в случае утвердительного ответа укажите это значение):

1) $ax > -1 - 7x$;

2) $(a^2 - 16)x \ge a + 4?$

1) Рассматривается неравенство $ax > -1 - 7x$.
Для того чтобы найти значение параметра $a$, при котором любое число является решением этого неравенства, преобразуем его. Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть:
$ax + 7x > -1$
Вынесем $x$ за скобки:
$(a + 7)x > -1$
Данное неравенство является линейным относительно $x$. Оно имеет вид $kx > c$. Решением такого неравенства будет любое действительное число $x$ только в том случае, если коэффициент при $x$ равен нулю, а полученное числовое неравенство является верным.
1. Приравняем коэффициент при $x$ к нулю:
$k = a + 7 = 0$
$a = -7$
2. Подставим найденное значение $a = -7$ в неравенство и проверим, будет ли оно верным:
$(-7 + 7)x > -1$
$0 \cdot x > -1$
$0 > -1$
Неравенство $0 > -1$ является верным. Таким образом, при $a = -7$ исходное неравенство выполняется для любого значения $x$.
Ответ: да, существует, $a = -7$.

2) Рассматривается неравенство $(a^2 - 16)x \ge a + 4$.
Это неравенство вида $kx \ge c$. Чтобы его решением было любое число $x$, необходимо, чтобы коэффициент $k$ при $x$ был равен нулю, а получившееся в результате этого числовое неравенство $0 \ge c$ было верным.
1. Приравняем коэффициент при $x$ к нулю:
$k = a^2 - 16 = 0$
Разложим на множители:
$(a - 4)(a + 4) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $a = 4$ и $a = -4$.
2. Проверим каждый из найденных корней, подставив их в исходное неравенство.
Случай 1: $a = 4$.
Подставляем в неравенство:
$(4^2 - 16)x \ge 4 + 4$
$(16 - 16)x \ge 8$
$0 \cdot x \ge 8$
$0 \ge 8$
Полученное неравенство является неверным. Следовательно, значение $a = 4$ не подходит.
Случай 2: $a = -4$.
Подставляем в неравенство:
$((-4)^2 - 16)x \ge -4 + 4$
$(16 - 16)x \ge 0$
$0 \cdot x \ge 0$
$0 \ge 0$
Полученное неравенство является верным (так как $0$ равен $0$). Следовательно, при $a = -4$ исходное неравенство выполняется для любого значения $x$.
Ответ: да, существует, $a = -4$.