Номер 155, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

155. Постройте график функции:

1) $y = |x - 2|;$

2) $y = |x + 3| - 1;$

3) $y = |x - 1| + x.$

1) Для построения графика функции $y = |x - 2|$ можно воспользоваться методом преобразования графиков.
1. Сначала построим базовый график функции $y = |x|$. Это график, состоящий из двух лучей, выходящих из начала координат: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. Вершина этого графика находится в точке $(0, 0)$.
2. График функции $y = |x - 2|$ получается из графика $y = |x|$ путем сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (оси Ox).
3. Таким образом, вершина графика смещается из точки $(0, 0)$ в точку $(2, 0)$.

Альтернативный способ — раскрытие модуля:
Функция $y = |x - 2|$ может быть записана как система:
$ y = \begin{cases} x - 2, & \text{если } x - 2 \ge 0, \text{ то есть } x \ge 2 \\ -(x - 2), & \text{если } x - 2 < 0, \text{ то есть } x < 2 \end{cases} $
То есть, для $x \ge 2$ строим график прямой $y = x - 2$. Для $x < 2$ строим график прямой $y = -x + 2$. Эти два луча и образуют искомый график с вершиной в точке $(2, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой "галочку" (два луча), вершина которой находится в точке $(2, 0)$, а ветви направлены вверх.

2) Для построения графика функции $y = |x + 3| - 1$ также используем метод преобразования графиков.
1. Начнем с базового графика $y = |x|$, вершина которого в точке $(0, 0)$.
2. Выполним первое преобразование: $y = |x + 3|$. Это сдвиг графика $y = |x|$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Вершина смещается в точку $(-3, 0)$.
3. Выполним второе преобразование: $y = |x + 3| - 1$. Это сдвиг графика $y = |x + 3|$ на 1 единицу вниз вдоль оси ординат (оси Oy).
4. В результате вершина графика смещается из точки $(-3, 0)$ в точку $(-3, -1)$.

Через раскрытие модуля:
$ y = \begin{cases} (x + 3) - 1, & \text{если } x + 3 \ge 0, \text{ то есть } x \ge -3 \\ -(x + 3) - 1, & \text{если } x + 3 < 0, \text{ то есть } x < -3 \end{cases} $
Упрощая, получаем:
$ y = \begin{cases} x + 2, & \text{если } x \ge -3 \\ -x - 4, & \text{если } x < -3 \end{cases} $
График состоит из двух лучей, выходящих из точки $(-3, -1)$.

Ответ: График функции — это "галочка", полученная сдвигом графика $y = |x|$ на 3 единицы влево и на 1 единицу вниз. Вершина находится в точке $(-3, -1)$, ветви направлены вверх.

3) Для построения графика функции $y = |x - 1| + x$ необходимо раскрыть модуль. Преобразования здесь применить сложнее из-за слагаемого $x$ вне модуля.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения под модулем. Точка, в которой выражение $x-1$ меняет знак, это $x=1$.

1. Если $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$:
В этом случае $|x - 1| = x - 1$. Функция принимает вид:
$y = (x - 1) + x = 2x - 1$.
На промежутке $[1, +\infty)$ строим график прямой $y = 2x - 1$. Это луч, начинающийся в точке $(1, 2 \cdot 1 - 1) = (1, 1)$.

2. Если $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$:
В этом случае $|x - 1| = -(x - 1) = -x + 1$. Функция принимает вид:
$y = (-x + 1) + x = 1$.
На промежутке $(-\infty, 1)$ строим график прямой $y = 1$. Это горизонтальный луч, идущий слева и заканчивающийся в точке с абсциссой $x=1$.

Объединяя оба случая, получаем график, который состоит из двух лучей, соединяющихся в точке $(1, 1)$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, сходящихся в точке "излома" $(1, 1)$. При $x < 1$ график является горизонтальным лучом $y = 1$. При $x \ge 1$ график является лучом $y = 2x - 1$.