Номер 153, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

153. Решите уравнение:

1) $|x - 3| + x = 15;$

2) $|x + 1| - 4x = 14;$

3) $|3x - 12| - 2x = 1;$

4) $|x + 2| - x = 1.$

1) Решим уравнение $|x - 3| + x = 15$.
Для решения уравнений с модулем необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Случай 1: Выражение под модулем неотрицательно, то есть $x - 3 \ge 0$, что равносильно $x \ge 3$.
В этом случае модуль раскрывается со знаком "плюс": $|x - 3| = x - 3$. Уравнение принимает вид: $(x - 3) + x = 15$
$2x - 3 = 15$
$2x = 18$
$x = 9$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию $x \ge 3$. Так как $9 \ge 3$, то $x = 9$ является решением.
Случай 2: Выражение под модулем отрицательно, то есть $x - 3 < 0$, что равносильно $x < 3$.
В этом случае модуль раскрывается со знаком "минус": $|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$. Уравнение принимает вид: $(-x + 3) + x = 15$
$3 = 15$
Получено неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.
Объединяя результаты обоих случаев, получаем единственный корень.
Ответ: $9$.

2) Решим уравнение $|x + 1| - 4x = 14$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.
Тогда $|x + 1| = x + 1$. Уравнение становится: $(x + 1) - 4x = 14$
$-3x + 1 = 14$
$-3x = 13$
$x = -13/3$
Проверим условие $x \ge -1$. Так как $-13/3 \approx -4.33$, а $-4.33 < -1$, найденное значение не удовлетворяет условию этого случая. Значит, это не корень.
Случай 2: $x + 1 < 0$, то есть $x < -1$.
Тогда $|x + 1| = -(x + 1) = -x - 1$. Уравнение становится: $(-x - 1) - 4x = 14$
$-5x - 1 = 14$
$-5x = 15$
$x = -3$
Проверим условие $x < -1$. Так как $-3 < -1$, то $x = -3$ является решением.
Ответ: $-3$.

3) Решим уравнение $|3x - 12| - 2x = 1$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $3x - 12 \ge 0$, то есть $3x \ge 12$, что равносильно $x \ge 4$.
Тогда $|3x - 12| = 3x - 12$. Уравнение принимает вид: $(3x - 12) - 2x = 1$
$x - 12 = 1$
$x = 13$
Проверим условие $x \ge 4$. Так как $13 \ge 4$, то $x = 13$ является решением.
Случай 2: $3x - 12 < 0$, то есть $3x < 12$, что равносильно $x < 4$.
Тогда $|3x - 12| = -(3x - 12) = -3x + 12$. Уравнение принимает вид: $(-3x + 12) - 2x = 1$
$-5x + 12 = 1$
$-5x = -11$
$x = 11/5$
Проверим условие $x < 4$. Так как $11/5 = 2.2$, а $2.2 < 4$, то $x = 11/5$ также является решением.
Ответ: $11/5; 13$.

4) Решим уравнение $|x + 2| - x = 1$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$.
Тогда $|x + 2| = x + 2$. Уравнение принимает вид: $(x + 2) - x = 1$
$2 = 1$
Получено неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.
Случай 2: $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$.
Тогда $|x + 2| = -(x + 2) = -x - 2$. Уравнение принимает вид: $(-x - 2) - x = 1$
$-2x - 2 = 1$
$-2x = 3$
$x = -3/2 = -1.5$
Проверим условие $x < -2$. Так как $-1.5 > -2$, найденное значение не удовлетворяет условию этого случая. Значит, это не корень.
Поскольку ни в одном из случаев мы не получили решений, уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет.