Номер 156, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

156. Постройте график функции:

1) $y = |x + 4|$;

2) $y = |x - 5| + 2$;

3) $y = |2x - 6| - x.$

1) $y = |x + 4|$

Для построения графика этой функции можно воспользоваться одним из двух способов.

Подход 1: С помощью геометрических преобразований.

График функции $y = |x + 4|$ можно получить из графика базовой функции $y = |x|$. График $y = |x|$ представляет собой две прямые $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$, образующие "галочку" с вершиной в начале координат $(0, 0)$. Преобразование $f(x) \to f(x+a)$ соответствует сдвигу графика вдоль оси абсцисс (OX) на $a$ единиц влево. В нашем случае $a=4$, поэтому график $y = |x|$ нужно сдвинуть на 4 единицы влево. Вершина графика сместится из точки $(0, 0)$ в точку $(-4, 0)$.

Подход 2: Раскрытие модуля по определению.

По определению, $|A| = A$, если $A \ge 0$, и $|A| = -A$, если $A < 0$. Применим это к нашей функции.

1. Если подмодульное выражение $x + 4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$, то $|x + 4| = x + 4$. Таким образом, на промежутке $[-4, +\infty)$ функция имеет вид $y = x + 4$. Это линейная функция, её график - прямая.

2. Если $x + 4 < 0$, то есть $x < -4$, то $|x + 4| = -(x + 4) = -x - 4$. На промежутке $(-\infty, -4)$ функция имеет вид $y = -x - 4$. Это также прямая.

Для построения графика найдем несколько точек. Вершина графика находится в точке, где подмодульное выражение равно нулю: $x = -4$, $y = |-4+4| = 0$. Точка $(-4, 0)$. Возьмем по одной точке на каждом промежутке:

• При $x > -4$, например $x=0$, $y = |0+4|=4$. Точка $(0, 4)$.
• При $x < -4$, например $x=-6$, $y = |-6+4|=|-2|=2$. Точка $(-6, 2)$.

Проводим лучи из точки $(-4, 0)$ через точки $(0, 4)$ и $(-6, 2)$.

Ответ: График функции $y = |x + 4|$ представляет собой "галочку", вершина которой находится в точке $(-4, 0)$. График состоит из двух лучей: луча прямой $y = x + 4$ для $x \ge -4$ и луча прямой $y = -x - 4$ для $x < -4$.

2) $y = |x - 5| + 2$

Подход 1: С помощью геометрических преобразований.

График функции $y = |x - 5| + 2$ получается из графика $y = |x|$ в два шага:

1. Сдвиг графика $y = |x|$ на 5 единиц вправо вдоль оси OX. Получаем график функции $y = |x - 5|$. Его вершина в точке $(5, 0)$.

2. Сдвиг графика $y = |x - 5|$ на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (OY). Получаем искомый график $y = |x - 5| + 2$. Его вершина смещается в точку $(5, 2)$.

Подход 2: Раскрытие модуля.

Найдем точку, в которой выражение под модулем равно нулю: $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$.

1. Если $x - 5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$, то $|x - 5| = x - 5$. Функция принимает вид: $y = (x - 5) + 2 = x - 3$.

2. Если $x - 5 < 0$, то есть $x < 5$, то $|x - 5| = -(x - 5) = -x + 5$. Функция принимает вид: $y = (-x + 5) + 2 = -x + 7$.

Таким образом, функция задается кусочно: $y = \begin{cases} x - 3, & \text{если } x \ge 5 \\ -x + 7, & \text{если } x < 5 \end{cases}$

Вершина графика находится в точке излома $x = 5$, $y = |5 - 5| + 2 = 2$. Точка $(5, 2)$.

Для построения лучей возьмем по одной дополнительной точке:

• При $x > 5$, например $x=7$, $y = 7 - 3 = 4$. Точка $(7, 4)$.
• При $x < 5$, например $x=3$, $y = -3 + 7 = 4$. Точка $(3, 4)$.

Проводим лучи из точки $(5, 2)$ через точки $(7, 4)$ и $(3, 4)$.

Ответ: График функции $y = |x - 5| + 2$ — это "галочка", полученная сдвигом графика $y = |x|$ на 5 единиц вправо и на 2 единицы вверх. Вершина находится в точке $(5, 2)$. График состоит из лучей прямых $y = x - 3$ при $x \ge 5$ и $y = -x + 7$ при $x < 5$.

3) $y = |2x - 6| - x$

Для построения данного графика удобнее всего раскрыть модуль. Найдем точку, в которой подмодульное выражение равно нулю:

$2x - 6 = 0 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$.

Эта точка делит числовую прямую на два интервала. Рассмотрим каждый из них.

1. При $x \ge 3$, выражение $2x - 6 \ge 0$, следовательно $|2x - 6| = 2x - 6$.

Функция на этом промежутке принимает вид: $y = (2x - 6) - x = x - 6$.

2. При $x < 3$, выражение $2x - 6 < 0$, следовательно $|2x - 6| = -(2x - 6) = -2x + 6$.

Функция на этом промежутке принимает вид: $y = (-2x + 6) - x = -3x + 6$.

Итак, мы получили кусочно-линейную функцию:

$y = \begin{cases} x - 6, & \text{если } x \ge 3 \\ -3x + 6, & \text{если } x < 3 \end{cases}$

График состоит из двух лучей, которые сходятся в точке излома с абсциссой $x = 3$. Найдем ординату этой точки, подставив $x=3$ в любое из выражений:

$y = 3 - 6 = -3$. Точка излома (вершина) - $(3, -3)$.

Для построения каждого луча найдем по одной дополнительной точке:

• Для луча $y = x - 6$ (при $x \ge 3$): возьмем $x = 5 \Rightarrow y = 5 - 6 = -1$. Проводим луч из $(3, -3)$ через $(5, -1)$.
• Для луча $y = -3x + 6$ (при $x < 3$): возьмем $x = 0 \Rightarrow y = -3(0) + 6 = 6$. Проводим луч из $(3, -3)$ через $(0, 6)$.

Ответ: График функции $y = |2x - 6| - x$ — это ломаная, состоящая из двух лучей, сходящихся в точке $(3, -3)$. На промежутке $[3, +\infty)$ график совпадает с лучом прямой $y = x - 6$, а на промежутке $(-\infty, 3)$ — с лучом прямой $y = -3x + 6$.