Номер 159, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Уравнение $ax^2 + 2x - 1 = 0$ имеет два различных действительных корня, если оно является квадратным и его дискриминант строго положителен.

Во-первых, уравнение должно быть квадратным, для этого коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю. В данном случае это означает $a \neq 0$. Если $a = 0$, уравнение становится линейным: $2x - 1 = 0$. Оно имеет только один корень $x = 1/2$, что не удовлетворяет условию задачи о двух различных корнях.

Во-вторых, для наличия двух различных действительных корней дискриминант $D$ должен быть строго больше нуля ($D > 0$). Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. Для уравнения $ax^2 + 2x - 1 = 0$ коэффициенты равны: $a_{коэфф} = a$, $b = 2$, $c = -1$.

$D = 2^2 - 4 \cdot a \cdot (-1) = 4 + 4a$.

Теперь решим неравенство $D > 0$:

$4 + 4a > 0$

$4a > -4$

$a > -1$

Для получения окончательного ответа необходимо объединить оба условия: $a > -1$ и $a \neq 0$. Это означает, что подходят все значения $a$ из интервала $(-1, +\infty)$, за исключением точки $a=0$.

Ответ: $a \in (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

Уравнение $(a + 1)x^2 - (2a - 3)x + a = 0$ имеет два различных действительных корня, если оно является квадратным и его дискриминант строго положителен.

Во-первых, коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю: $a + 1 \neq 0$, то есть $a \neq -1$. Если $a = -1$, уравнение становится линейным: $-(2(-1) - 3)x + (-1) = 0$, что упрощается до $-(-5)x - 1 = 0$ или $5x - 1 = 0$. Это уравнение имеет один корень $x = 1/5$, что не соответствует условию задачи.

Во-вторых, дискриминант $D = b^2 - 4ac$ должен быть строго больше нуля. Коэффициенты уравнения: $a_{коэфф} = a + 1$, $b = -(2a - 3)$, $c = a$.

$D = (-(2a - 3))^2 - 4(a + 1)a = (2a - 3)^2 - 4a(a + 1)$

$D = (4a^2 - 12a + 9) - (4a^2 + 4a) = 4a^2 - 12a + 9 - 4a^2 - 4a = -16a + 9$.

Решим неравенство $D > 0$:

$-16a + 9 > 0$

$9 > 16a$

$a < \frac{9}{16}$

Объединяем полученные условия: $a < \frac{9}{16}$ и $a \neq -1$.

Ответ: $a \in (-\infty; -1) \cup (-1; \frac{9}{16})$.

Уравнение $(a - 3)x^2 - 2(a - 5)x + a - 2 = 0$ имеет два различных действительных корня при выполнении двух условий.

Первое условие: уравнение должно быть квадратным, значит коэффициент при $x^2$ не равен нулю: $a - 3 \neq 0$, то есть $a \neq 3$. Если $a = 3$, уравнение становится линейным: $-2(3 - 5)x + 3 - 2 = 0$, что равносильно $4x + 1 = 0$. У него есть только один корень $x = -1/4$, что не удовлетворяет условию задачи.

Второе условие: дискриминант должен быть строго положителен. Так как коэффициент при $x$ четный ($b = -2(a-5)$), для удобства вычислений можно использовать "сокращенный" дискриминант $D_1 = (\frac{b}{2})^2 - ac > 0$. Здесь $\frac{b}{2} = -(a-5)$, $a_{коэфф} = a-3$, $c = a-2$.

$D_1 = (-(a - 5))^2 - (a - 3)(a - 2)$

$D_1 = (a^2 - 10a + 25) - (a^2 - 2a - 3a + 6)$

$D_1 = (a^2 - 10a + 25) - (a^2 - 5a + 6)$

$D_1 = a^2 - 10a + 25 - a^2 + 5a - 6 = -5a + 19$.

Решим неравенство $D_1 > 0$:

$-5a + 19 > 0$

$19 > 5a$

$a < \frac{19}{5}$

Теперь объединим оба условия: $a < \frac{19}{5}$ и $a \neq 3$. Так как $3 = \frac{15}{5}$ и $\frac{15}{5} < \frac{19}{5}$, значение $a=3$ попадает в интервал $a < \frac{19}{5}$, поэтому его необходимо исключить.

Ответ: $a \in (-\infty; 3) \cup (3; \frac{19}{5})$.