Номер 152, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

152. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{9-x} + \frac{10}{x+3}$;

2) $\frac{6}{\sqrt{3x-21}} + \frac{9}{x^2-64}$?

Данное выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, а знаменатель дроби, входящей в него, не равен нулю. Это приводит к системе условий:

$ \begin{cases} 9 - x + \frac{10}{x + 3} \ge 0 \\ x + 3 \neq 0 \end{cases} $

Из второго условия сразу получаем, что $x \neq -3$.

Решим первое неравенство. Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{(9-x)(x+3)+10}{x+3} \ge 0$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{9x + 27 - x^2 - 3x + 10}{x+3} \ge 0$

$\frac{-x^2 + 6x + 37}{x+3} \ge 0$

Чтобы избавиться от знака минус перед $x^2$, умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$\frac{x^2 - 6x - 37}{x+3} \le 0$

Найдем корни числителя, решив квадратное уравнение $x^2 - 6x - 37 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-37) = 36 + 148 = 184$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{184}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 46}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{46}}{2} = 3 \pm \sqrt{46}$.

Корень знаменателя: $x+3=0 \implies x = -3$.

Теперь решим неравенство $\frac{(x - (3-\sqrt{46}))(x - (3+\sqrt{46}))}{x+3} \le 0$ методом интервалов. Отметим на числовой оси точки $3-\sqrt{46}$, $-3$ и $3+\sqrt{46}$.

Так как $6 < \sqrt{46} < 7$, то $3-\sqrt{46}$ находится в интервале от $3-7=-4$ до $3-6=-3$. Точнее, $3-\sqrt{46} \approx 3 - 6.8 = -3.8$. Значит, $3-\sqrt{46} < -3$.

Расположим точки на оси: $3-\sqrt{46}$, $-3$, $3+\sqrt{46}$.

Определим знаки выражения $\frac{x^2 - 6x - 37}{x+3}$ на полученных интервалах:

• При $x > 3+\sqrt{46}$ (например, $x=10$): $\frac{100-60-37}{10+3} = \frac{3}{13} > 0$.
• При $-3 < x < 3+\sqrt{46}$ (например, $x=0$): $\frac{-37}{3} < 0$.
• При $3-\sqrt{46} < x < -3$ (например, $x=-3.5$): $\frac{(-3.5)^2-6(-3.5)-37}{-3.5+3} = \frac{12.25+21-37}{-0.5} = \frac{-3.75}{-0.5} > 0$.
• При $x < 3-\sqrt{46}$ (например, $x=-4$): $\frac{16+24-37}{-4+3} = \frac{3}{-1} < 0$.

Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Корни числителя ($3-\sqrt{46}$ и $3+\sqrt{46}$) включаются в решение, а корень знаменателя ($-3$) исключается.

Таким образом, решением являются $x \in (-\infty, 3-\sqrt{46}] \cup (-3, 3+\sqrt{46}]$.

Ответ: $x \in (-\infty, 3-\sqrt{46}] \cup (-3, 3+\sqrt{46}]$

Выражение представляет собой сумму двух дробей. Оно имеет смысл, когда оба слагаемых определены, то есть когда знаменатели обеих дробей не равны нулю, и подкоренное выражение в первом слагаемом неотрицательно.

Для первого слагаемого $\frac{6}{\sqrt{3x-21}}$ должны выполняться условия:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $3x-21 \ge 0$.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt{3x-21} \neq 0$, что эквивалентно $3x-21 \neq 0$.

Объединяя эти два условия, получаем строгое неравенство: $3x-21 > 0$.

Решим его: $3x > 21 \implies x > 7$.

Для второго слагаемого $\frac{9}{x^2-64}$ знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^2-64 \neq 0$

$x^2 \neq 64$

$x \neq 8$ и $x \neq -8$.

Теперь найдем пересечение всех полученных условий, решив систему:

$ \begin{cases} x > 7 \\ x \neq 8 \\ x \neq -8 \end{cases} $

Условие $x > 7$ автоматически исключает значение $x=-8$. Таким образом, система упрощается до:

$ \begin{cases} x > 7 \\ x \neq 8 \end{cases} $

Это означает, что переменная $x$ может принимать любые значения больше 7, кроме 8. В виде интервалов это записывается как объединение $(7, 8) \cup (8, +\infty)$.

Ответ: $x \in (7, 8) \cup (8, +\infty)$