Страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

146. В коробке находятся синие и жёлтые шары. Количество синих шаров относится к количеству жёлтых как $3:4$. Какое наибольшее количество синих шаров может быть в коробке, если всего шаров не больше 44?

Пусть С — количество синих шаров, а Ж — количество жёлтых шаров. Согласно условию задачи, отношение количества синих шаров к количеству жёлтых равно $3:4$.
Это означает, что количество синих шаров можно представить как $3k$, а количество жёлтых — как $4k$, где k — некоторый коэффициент пропорциональности, который должен быть натуральным числом (поскольку количество шаров не может быть дробным или отрицательным).
Общее количество шаров в коробке равно сумме синих и жёлтых шаров: $3k + 4k = 7k$.
По условию, всего шаров в коробке не больше 44. Это можно записать в виде неравенства:
$7k \le 44$.
Чтобы найти наибольшее возможное количество синих шаров ($3k$), нам нужно найти наибольшее возможное целое значение k, которое удовлетворяет этому неравенству.
Разделим обе части неравенства на 7:
$k \le \frac{44}{7}$
$k \le 6 \frac{2}{7}$.
Поскольку k должно быть целым числом, его наибольшее возможное значение равно 6.
Теперь найдем наибольшее количество синих шаров, подставив максимальное значение $k=6$ в выражение для их количества:
$С_{наибольшее} = 3 \times 6 = 18$.
Для проверки: при $k=6$ количество жёлтых шаров составит $4 \times 6 = 24$. Общее число шаров будет $18 + 24 = 42$, что удовлетворяет условию "не больше 44".

Ответ: 18

147. В саду растут яблони, вишни и сливы, количества которых относятся как $5 : 4 : 2$ соответственно. Каким может быть наименьшее количество вишен, если всего деревьев в саду не менее 120?

Пусть $x$ – коэффициент пропорциональности. Тогда количество яблонь в саду можно представить как $5x$, количество вишен – $4x$, а количество слив – $2x$. Поскольку количество деревьев может быть только целым числом, коэффициент $x$ также должен быть целым положительным числом.

Суммарное количество деревьев в саду равно сумме яблонь, вишен и слив:

$5x + 4x + 2x = 11x$

По условию задачи, всего деревьев в саду не менее 120. Составим неравенство на основе этого условия:

$11x \ge 120$

Разделим обе части неравенства на 11, чтобы найти возможное значение $x$:

$x \ge \frac{120}{11}$

Преобразуем правую часть в смешанную дробь для наглядности:

$x \ge 10\frac{10}{11}$

Так как $x$ должен быть целым числом, наименьшее целое значение $x$, которое удовлетворяет этому неравенству, это следующее за $10\frac{10}{11}$ целое число, то есть $x = 11$.

Теперь мы можем найти наименьшее количество вишен, подставив найденное минимальное значение $x$ в выражение для количества вишен ($4x$):

Наименьшее количество вишен = $4 \times 11 = 44$.

Проверим: если $x=11$, то всего деревьев будет $11 \times 11 = 121$, что удовлетворяет условию "не менее 120".

Ответ: 44

148. Стороны треугольника равны 8 см, 14 см и $a$ см, где $a$ – натуральное число. Какое наибольшее значение может принимать $a$?

Для того чтобы три отрезка могли образовать треугольник, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

В данной задаче стороны треугольника равны 8 см, 14 см и $a$ см, где $a$ — натуральное число. Запишем три неравенства треугольника для этих сторон:

1) Сумма двух первых сторон больше третьей: $8 + 14 > a$

2) Сумма первой и третьей сторон больше второй: $8 + a > 14$

3) Сумма второй и третьей сторон больше первой: $14 + a > 8$

Теперь решим эти неравенства относительно $a$:

1) $22 > a$, или $a < 22$.

2) $a > 14 - 8$, что дает $a > 6$.

3) $a > 8 - 14$, что дает $a > -6$. Это неравенство всегда выполняется, так как $a$ — длина стороны, а значит, положительное число (и по условию — натуральное).

Объединив два значимых неравенства ($a < 22$ и $a > 6$), мы получаем диапазон возможных значений для $a$:

$6 < a < 22$

По условию, $a$ — натуральное число. Нам нужно найти наибольшее возможное значение $a$ в этом диапазоне. Наибольшее натуральное число, которое строго меньше 22, — это 21. Это значение удовлетворяет всем условиям.

Ответ: 21.

149. Сумма трёх последовательных натуральных чётных чисел не меньше чем 85. Найдите наименьшие три числа, удовлетворяющие этому условию.

Пусть первое из трёх последовательных натуральных чётных чисел равно $x$. Так как числа являются последовательными чётными, то каждое следующее число на 2 больше предыдущего. Таким образом, эти три числа можно представить в виде $x$, $x+2$ и $x+4$.

Согласно условию задачи, сумма этих трёх чисел не меньше чем 85. Это можно записать в виде неравенства:

$x + (x+2) + (x+4) \ge 85$

Решим это неравенство относительно $x$. Сначала упростим левую часть:

$3x + 6 \ge 85$

Вычтем 6 из обеих частей неравенства:

$3x \ge 85 - 6$

$3x \ge 79$

Разделим обе части на 3:

$x \ge \frac{79}{3}$

Преобразуем дробь в смешанное число для наглядности:

$x \ge 26\frac{1}{3}$

По условию, $x$ должно быть натуральным чётным числом. Мы ищем наименьшие такие числа, поэтому нам нужно найти наименьшее чётное число $x$, которое удовлетворяет неравенству $x \ge 26\frac{1}{3}$.

Наименьшее целое число, которое больше $26\frac{1}{3}$, это 27, но оно нечётное. Следующее за ним чётное число — это 28.

Следовательно, наименьшее первое число $x$ равно 28.

Теперь найдём остальные два числа:

• Второе число: $x+2 = 28+2 = 30$
• Третье число: $x+4 = 28+4 = 32$

Таким образом, наименьшая тройка последовательных чётных чисел — это 28, 30 и 32.

Проверим, выполняется ли условие задачи для этих чисел. Найдём их сумму:

$28 + 30 + 32 = 90$

Так как $90 \ge 85$, условие "сумма не меньше чем 85" выполнено.

Ответ: 28, 30, 32.

150. Сумма трёх последовательных натуральных чисел, кратных 5, не больше 100. Какие наибольшие три числа удовлетворяют этому условию?

Пусть искомые три последовательных натуральных числа, кратных 5, можно представить в виде $x$, $x+5$ и $x+10$, где $x$ — наименьшее из этих чисел. По условию, $x$ должно быть натуральным числом, кратным 5.

Сумма этих трёх чисел вычисляется как $x + (x+5) + (x+10) = 3x + 15$.

Согласно условию задачи, эта сумма не больше 100. Составим и решим соответствующее неравенство, чтобы найти возможные значения для $x$:

$3x + 15 \le 100$
$3x \le 100 - 15$
$3x \le 85$
$x \le \frac{85}{3}$
$x \le 28.33...$

Мы ищем наибольшие три числа, поэтому нам необходимо найти наибольшее возможное значение для $x$. Это значение должно удовлетворять двум условиям: $x$ должно быть кратно 5 и $x \le 28.33...$. Наибольшим натуральным числом, которое удовлетворяет этим условиям, является 25.

Таким образом, мы нашли наименьшее из трёх чисел, $x = 25$. Теперь найдём остальные два числа:

Второе число: $x+5 = 25+5 = 30$
Третье число: $x+10 = 25+10 = 35$

Искомая тройка чисел — 25, 30 и 35. Проверим, удовлетворяют ли они условию: их сумма равна $25 + 30 + 35 = 90$, что действительно не больше 100. Следующая возможная тройка (30, 35, 40) имеет сумму 105, что уже больше 100. Следовательно, найденные числа являются наибольшими.

Ответ: 25, 30, 35.

151. При каких значениях x определена функция:

1) $f(x) = \sqrt{x+4} + \frac{1}{x-2}$;

2) $f(x) = \sqrt{24-8x} + \frac{6}{x^2-16}$;

3) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3x+9}} - \frac{8}{|x|-2}$;

4) $f(x) = \sqrt{x+1} + \frac{4}{x^2-1}$?

1)

Область определения функции $f(x) = \sqrt{x+4} + \frac{1}{x-2}$ задается системой условий, при которых все ее части имеют смысл:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x+4 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x-2 \neq 0$.

Получаем систему:

$\begin{cases} x+4 \ge 0 \\ x-2 \neq 0 \end{cases}$

Из первого неравенства следует: $x \ge -4$.

Из второго условия следует: $x \neq 2$.

Объединяя эти два условия, получаем, что $x$ может быть любым числом из промежутка $[-4, +\infty)$, за исключением точки $x=2$.

Ответ: $x \in [-4, 2) \cup (2, +\infty)$.

2)

Область определения функции $f(x) = \sqrt{24 - 8x} + \frac{6}{x^2 - 16}$ задается системой условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $24 - 8x \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - 16 \neq 0$.

Решим систему:

$\begin{cases} 24 - 8x \ge 0 \\ x^2 - 16 \neq 0 \end{cases}$

Решаем первое неравенство: $24 \ge 8x$, что равносильно $3 \ge x$ или $x \le 3$.

Решаем второе условие: $x^2 \neq 16$, откуда $x \neq 4$ и $x \neq -4$.

Сопоставим полученные результаты. Нам нужны значения $x$, которые удовлетворяют условию $x \le 3$ и при этом не равны $4$ и $-4$. Условие $x \neq 4$ автоматически выполняется, так как все значения $x$ меньше или равны 3. Остается исключить значение $x = -4$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, 3]$.

3)

Область определения функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3x+9}} - \frac{8}{|x|-2}$ задается системой условий:

1. Выражение под знаком корня в знаменателе должно быть строго положительным (неотрицательным из-за корня и не равным нулю из-за знаменателя): $3x+9 > 0$.

2. Знаменатель второй дроби не должен быть равен нулю: $|x|-2 \neq 0$.

Решим систему:

$\begin{cases} 3x+9 > 0 \\ |x|-2 \neq 0 \end{cases}$

Из первого неравенства: $3x > -9$, откуда $x > -3$.

Из второго условия: $|x| \neq 2$, что означает $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Объединяем условия: нам нужны значения $x$, которые строго больше $-3$, но при этом не равны $-2$ и $2$. Оба эти значения попадают в промежуток $(-3, +\infty)$, поэтому их необходимо исключить.

Ответ: $x \in (-3, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.

4)

Область определения функции $f(x) = \sqrt{x+1} + \frac{4}{x^2-1}$ задается системой условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0$.

Решим систему:

$\begin{cases} x+1 \ge 0 \\ x^2 - 1 \neq 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем: $x \ge -1$.

Из второго условия, разложив его на множители: $(x-1)(x+1) \neq 0$, получаем $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Совмещаем условия $x \ge -1$ и $x \neq -1$. Это эквивалентно строгому неравенству $x > -1$. Также необходимо учесть условие $x \neq 1$.

Ответ: $x \in (-1, 1) \cup (1, +\infty)$.

152. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{9-x} + \frac{10}{x+3}$;

2) $\frac{6}{\sqrt{3x-21}} + \frac{9}{x^2-64}$?

Данное выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, а знаменатель дроби, входящей в него, не равен нулю. Это приводит к системе условий:

$ \begin{cases} 9 - x + \frac{10}{x + 3} \ge 0 \\ x + 3 \neq 0 \end{cases} $

Из второго условия сразу получаем, что $x \neq -3$.

Решим первое неравенство. Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{(9-x)(x+3)+10}{x+3} \ge 0$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{9x + 27 - x^2 - 3x + 10}{x+3} \ge 0$

$\frac{-x^2 + 6x + 37}{x+3} \ge 0$

Чтобы избавиться от знака минус перед $x^2$, умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$\frac{x^2 - 6x - 37}{x+3} \le 0$

Найдем корни числителя, решив квадратное уравнение $x^2 - 6x - 37 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-37) = 36 + 148 = 184$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{184}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 46}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{46}}{2} = 3 \pm \sqrt{46}$.

Корень знаменателя: $x+3=0 \implies x = -3$.

Теперь решим неравенство $\frac{(x - (3-\sqrt{46}))(x - (3+\sqrt{46}))}{x+3} \le 0$ методом интервалов. Отметим на числовой оси точки $3-\sqrt{46}$, $-3$ и $3+\sqrt{46}$.

Так как $6 < \sqrt{46} < 7$, то $3-\sqrt{46}$ находится в интервале от $3-7=-4$ до $3-6=-3$. Точнее, $3-\sqrt{46} \approx 3 - 6.8 = -3.8$. Значит, $3-\sqrt{46} < -3$.

Расположим точки на оси: $3-\sqrt{46}$, $-3$, $3+\sqrt{46}$.

Определим знаки выражения $\frac{x^2 - 6x - 37}{x+3}$ на полученных интервалах:

• При $x > 3+\sqrt{46}$ (например, $x=10$): $\frac{100-60-37}{10+3} = \frac{3}{13} > 0$.
• При $-3 < x < 3+\sqrt{46}$ (например, $x=0$): $\frac{-37}{3} < 0$.
• При $3-\sqrt{46} < x < -3$ (например, $x=-3.5$): $\frac{(-3.5)^2-6(-3.5)-37}{-3.5+3} = \frac{12.25+21-37}{-0.5} = \frac{-3.75}{-0.5} > 0$.
• При $x < 3-\sqrt{46}$ (например, $x=-4$): $\frac{16+24-37}{-4+3} = \frac{3}{-1} < 0$.

Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Корни числителя ($3-\sqrt{46}$ и $3+\sqrt{46}$) включаются в решение, а корень знаменателя ($-3$) исключается.

Таким образом, решением являются $x \in (-\infty, 3-\sqrt{46}] \cup (-3, 3+\sqrt{46}]$.

Ответ: $x \in (-\infty, 3-\sqrt{46}] \cup (-3, 3+\sqrt{46}]$

Выражение представляет собой сумму двух дробей. Оно имеет смысл, когда оба слагаемых определены, то есть когда знаменатели обеих дробей не равны нулю, и подкоренное выражение в первом слагаемом неотрицательно.

Для первого слагаемого $\frac{6}{\sqrt{3x-21}}$ должны выполняться условия:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $3x-21 \ge 0$.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt{3x-21} \neq 0$, что эквивалентно $3x-21 \neq 0$.

Объединяя эти два условия, получаем строгое неравенство: $3x-21 > 0$.

Решим его: $3x > 21 \implies x > 7$.

Для второго слагаемого $\frac{9}{x^2-64}$ знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^2-64 \neq 0$

$x^2 \neq 64$

$x \neq 8$ и $x \neq -8$.

Теперь найдем пересечение всех полученных условий, решив систему:

$ \begin{cases} x > 7 \\ x \neq 8 \\ x \neq -8 \end{cases} $

Условие $x > 7$ автоматически исключает значение $x=-8$. Таким образом, система упрощается до:

$ \begin{cases} x > 7 \\ x \neq 8 \end{cases} $

Это означает, что переменная $x$ может принимать любые значения больше 7, кроме 8. В виде интервалов это записывается как объединение $(7, 8) \cup (8, +\infty)$.

Ответ: $x \in (7, 8) \cup (8, +\infty)$

153. Решите уравнение:

1) $|x - 3| + x = 15;$

2) $|x + 1| - 4x = 14;$

3) $|3x - 12| - 2x = 1;$

4) $|x + 2| - x = 1.$

1) Решим уравнение $|x - 3| + x = 15$.
Для решения уравнений с модулем необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Случай 1: Выражение под модулем неотрицательно, то есть $x - 3 \ge 0$, что равносильно $x \ge 3$.
В этом случае модуль раскрывается со знаком "плюс": $|x - 3| = x - 3$. Уравнение принимает вид: $(x - 3) + x = 15$
$2x - 3 = 15$
$2x = 18$
$x = 9$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию $x \ge 3$. Так как $9 \ge 3$, то $x = 9$ является решением.
Случай 2: Выражение под модулем отрицательно, то есть $x - 3 < 0$, что равносильно $x < 3$.
В этом случае модуль раскрывается со знаком "минус": $|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$. Уравнение принимает вид: $(-x + 3) + x = 15$
$3 = 15$
Получено неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.
Объединяя результаты обоих случаев, получаем единственный корень.
Ответ: $9$.

2) Решим уравнение $|x + 1| - 4x = 14$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.
Тогда $|x + 1| = x + 1$. Уравнение становится: $(x + 1) - 4x = 14$
$-3x + 1 = 14$
$-3x = 13$
$x = -13/3$
Проверим условие $x \ge -1$. Так как $-13/3 \approx -4.33$, а $-4.33 < -1$, найденное значение не удовлетворяет условию этого случая. Значит, это не корень.
Случай 2: $x + 1 < 0$, то есть $x < -1$.
Тогда $|x + 1| = -(x + 1) = -x - 1$. Уравнение становится: $(-x - 1) - 4x = 14$
$-5x - 1 = 14$
$-5x = 15$
$x = -3$
Проверим условие $x < -1$. Так как $-3 < -1$, то $x = -3$ является решением.
Ответ: $-3$.

3) Решим уравнение $|3x - 12| - 2x = 1$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $3x - 12 \ge 0$, то есть $3x \ge 12$, что равносильно $x \ge 4$.
Тогда $|3x - 12| = 3x - 12$. Уравнение принимает вид: $(3x - 12) - 2x = 1$
$x - 12 = 1$
$x = 13$
Проверим условие $x \ge 4$. Так как $13 \ge 4$, то $x = 13$ является решением.
Случай 2: $3x - 12 < 0$, то есть $3x < 12$, что равносильно $x < 4$.
Тогда $|3x - 12| = -(3x - 12) = -3x + 12$. Уравнение принимает вид: $(-3x + 12) - 2x = 1$
$-5x + 12 = 1$
$-5x = -11$
$x = 11/5$
Проверим условие $x < 4$. Так как $11/5 = 2.2$, а $2.2 < 4$, то $x = 11/5$ также является решением.
Ответ: $11/5; 13$.

4) Решим уравнение $|x + 2| - x = 1$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$.
Тогда $|x + 2| = x + 2$. Уравнение принимает вид: $(x + 2) - x = 1$
$2 = 1$
Получено неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.
Случай 2: $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$.
Тогда $|x + 2| = -(x + 2) = -x - 2$. Уравнение принимает вид: $(-x - 2) - x = 1$
$-2x - 2 = 1$
$-2x = 3$
$x = -3/2 = -1.5$
Проверим условие $x < -2$. Так как $-1.5 > -2$, найденное значение не удовлетворяет условию этого случая. Значит, это не корень.
Поскольку ни в одном из случаев мы не получили решений, уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет.

154. Решите уравнение:

1) $|x+5|+2x=7;$

2) $|3-2x|-x=9.$

1) $|x + 5| + 2x = 7$

Для решения этого уравнения, содержащего модуль, необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под знаком модуля.

Критическая точка, в которой выражение под модулем равно нулю: $x + 5 = 0$, откуда $x = -5$. Эта точка делит числовую прямую на два промежутка.

Случай 1: Выражение под модулем неотрицательно, то есть $x + 5 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge -5$.

В этом случае модуль раскрывается со знаком плюс: $|x + 5| = x + 5$. Уравнение принимает вид:

$(x + 5) + 2x = 7$

$3x + 5 = 7$

$3x = 7 - 5$

$3x = 2$

$x = \frac{2}{3}$

Проверим, соответствует ли найденный корень условию этого случая ($x \ge -5$). Поскольку $\frac{2}{3} \ge -5$, корень $x = \frac{2}{3}$ является решением уравнения.

Случай 2: Выражение под модулем отрицательно, то есть $x + 5 < 0$, что эквивалентно $x < -5$.

В этом случае модуль раскрывается со знаком минус: $|x + 5| = -(x + 5) = -x - 5$. Уравнение принимает вид:

$(-x - 5) + 2x = 7$

$x - 5 = 7$

$x = 12$

Проверим, соответствует ли найденный корень условию этого случая ($x < -5$). Поскольку $12 \not< -5$, этот корень является посторонним и не подходит.

Следовательно, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $\frac{2}{3}$

2) $|3 - 2x| - x = 9$

Решим это уравнение, также рассмотрев два случая раскрытия модуля.

Критическая точка: $3 - 2x = 0$, откуда $2x = 3$, $x = \frac{3}{2}$ или $x = 1.5$.

Случай 1: Выражение под модулем неотрицательно, то есть $3 - 2x \ge 0$, что эквивалентно $x \le \frac{3}{2}$.

В этом случае $|3 - 2x| = 3 - 2x$. Уравнение принимает вид:

$(3 - 2x) - x = 9$

$3 - 3x = 9$

$-3x = 9 - 3$

$-3x = 6$

$x = -2$

Проверим выполнение условия $x \le \frac{3}{2}$. Поскольку $-2 \le \frac{3}{2}$, корень $x = -2$ является решением.

Случай 2: Выражение под модулем отрицательно, то есть $3 - 2x < 0$, что эквивалентно $x > \frac{3}{2}$.

В этом случае $|3 - 2x| = -(3 - 2x) = 2x - 3$. Уравнение принимает вид:

$(2x - 3) - x = 9$

$x - 3 = 9$

$x = 12$

Проверим выполнение условия $x > \frac{3}{2}$. Поскольку $12 > \frac{3}{2}$, корень $x = 12$ также является решением.

Следовательно, данное уравнение имеет два корня.

Ответ: $-2; 12$

155. Постройте график функции:

1) $y = |x - 2|;$

2) $y = |x + 3| - 1;$

3) $y = |x - 1| + x.$

1) Для построения графика функции $y = |x - 2|$ можно воспользоваться методом преобразования графиков.
1. Сначала построим базовый график функции $y = |x|$. Это график, состоящий из двух лучей, выходящих из начала координат: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. Вершина этого графика находится в точке $(0, 0)$.
2. График функции $y = |x - 2|$ получается из графика $y = |x|$ путем сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (оси Ox).
3. Таким образом, вершина графика смещается из точки $(0, 0)$ в точку $(2, 0)$.

Альтернативный способ — раскрытие модуля:
Функция $y = |x - 2|$ может быть записана как система:
$ y = \begin{cases} x - 2, & \text{если } x - 2 \ge 0, \text{ то есть } x \ge 2 \\ -(x - 2), & \text{если } x - 2 < 0, \text{ то есть } x < 2 \end{cases} $
То есть, для $x \ge 2$ строим график прямой $y = x - 2$. Для $x < 2$ строим график прямой $y = -x + 2$. Эти два луча и образуют искомый график с вершиной в точке $(2, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой "галочку" (два луча), вершина которой находится в точке $(2, 0)$, а ветви направлены вверх.

2) Для построения графика функции $y = |x + 3| - 1$ также используем метод преобразования графиков.
1. Начнем с базового графика $y = |x|$, вершина которого в точке $(0, 0)$.
2. Выполним первое преобразование: $y = |x + 3|$. Это сдвиг графика $y = |x|$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Вершина смещается в точку $(-3, 0)$.
3. Выполним второе преобразование: $y = |x + 3| - 1$. Это сдвиг графика $y = |x + 3|$ на 1 единицу вниз вдоль оси ординат (оси Oy).
4. В результате вершина графика смещается из точки $(-3, 0)$ в точку $(-3, -1)$.

Через раскрытие модуля:
$ y = \begin{cases} (x + 3) - 1, & \text{если } x + 3 \ge 0, \text{ то есть } x \ge -3 \\ -(x + 3) - 1, & \text{если } x + 3 < 0, \text{ то есть } x < -3 \end{cases} $
Упрощая, получаем:
$ y = \begin{cases} x + 2, & \text{если } x \ge -3 \\ -x - 4, & \text{если } x < -3 \end{cases} $
График состоит из двух лучей, выходящих из точки $(-3, -1)$.

Ответ: График функции — это "галочка", полученная сдвигом графика $y = |x|$ на 3 единицы влево и на 1 единицу вниз. Вершина находится в точке $(-3, -1)$, ветви направлены вверх.

3) Для построения графика функции $y = |x - 1| + x$ необходимо раскрыть модуль. Преобразования здесь применить сложнее из-за слагаемого $x$ вне модуля.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения под модулем. Точка, в которой выражение $x-1$ меняет знак, это $x=1$.

1. Если $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$:
В этом случае $|x - 1| = x - 1$. Функция принимает вид:
$y = (x - 1) + x = 2x - 1$.
На промежутке $[1, +\infty)$ строим график прямой $y = 2x - 1$. Это луч, начинающийся в точке $(1, 2 \cdot 1 - 1) = (1, 1)$.

2. Если $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$:
В этом случае $|x - 1| = -(x - 1) = -x + 1$. Функция принимает вид:
$y = (-x + 1) + x = 1$.
На промежутке $(-\infty, 1)$ строим график прямой $y = 1$. Это горизонтальный луч, идущий слева и заканчивающийся в точке с абсциссой $x=1$.

Объединяя оба случая, получаем график, который состоит из двух лучей, соединяющихся в точке $(1, 1)$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, сходящихся в точке "излома" $(1, 1)$. При $x < 1$ график является горизонтальным лучом $y = 1$. При $x \ge 1$ график является лучом $y = 2x - 1$.

156. Постройте график функции:

1) $y = |x + 4|$;

2) $y = |x - 5| + 2$;

3) $y = |2x - 6| - x.$

1) $y = |x + 4|$

Для построения графика этой функции можно воспользоваться одним из двух способов.

Подход 1: С помощью геометрических преобразований.

График функции $y = |x + 4|$ можно получить из графика базовой функции $y = |x|$. График $y = |x|$ представляет собой две прямые $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$, образующие "галочку" с вершиной в начале координат $(0, 0)$. Преобразование $f(x) \to f(x+a)$ соответствует сдвигу графика вдоль оси абсцисс (OX) на $a$ единиц влево. В нашем случае $a=4$, поэтому график $y = |x|$ нужно сдвинуть на 4 единицы влево. Вершина графика сместится из точки $(0, 0)$ в точку $(-4, 0)$.

Подход 2: Раскрытие модуля по определению.

По определению, $|A| = A$, если $A \ge 0$, и $|A| = -A$, если $A < 0$. Применим это к нашей функции.

1. Если подмодульное выражение $x + 4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$, то $|x + 4| = x + 4$. Таким образом, на промежутке $[-4, +\infty)$ функция имеет вид $y = x + 4$. Это линейная функция, её график - прямая.

2. Если $x + 4 < 0$, то есть $x < -4$, то $|x + 4| = -(x + 4) = -x - 4$. На промежутке $(-\infty, -4)$ функция имеет вид $y = -x - 4$. Это также прямая.

Для построения графика найдем несколько точек. Вершина графика находится в точке, где подмодульное выражение равно нулю: $x = -4$, $y = |-4+4| = 0$. Точка $(-4, 0)$. Возьмем по одной точке на каждом промежутке:

• При $x > -4$, например $x=0$, $y = |0+4|=4$. Точка $(0, 4)$.
• При $x < -4$, например $x=-6$, $y = |-6+4|=|-2|=2$. Точка $(-6, 2)$.

Проводим лучи из точки $(-4, 0)$ через точки $(0, 4)$ и $(-6, 2)$.

Ответ: График функции $y = |x + 4|$ представляет собой "галочку", вершина которой находится в точке $(-4, 0)$. График состоит из двух лучей: луча прямой $y = x + 4$ для $x \ge -4$ и луча прямой $y = -x - 4$ для $x < -4$.

2) $y = |x - 5| + 2$

Подход 1: С помощью геометрических преобразований.

График функции $y = |x - 5| + 2$ получается из графика $y = |x|$ в два шага:

1. Сдвиг графика $y = |x|$ на 5 единиц вправо вдоль оси OX. Получаем график функции $y = |x - 5|$. Его вершина в точке $(5, 0)$.

2. Сдвиг графика $y = |x - 5|$ на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (OY). Получаем искомый график $y = |x - 5| + 2$. Его вершина смещается в точку $(5, 2)$.

Подход 2: Раскрытие модуля.

Найдем точку, в которой выражение под модулем равно нулю: $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$.

1. Если $x - 5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$, то $|x - 5| = x - 5$. Функция принимает вид: $y = (x - 5) + 2 = x - 3$.

2. Если $x - 5 < 0$, то есть $x < 5$, то $|x - 5| = -(x - 5) = -x + 5$. Функция принимает вид: $y = (-x + 5) + 2 = -x + 7$.

Таким образом, функция задается кусочно: $y = \begin{cases} x - 3, & \text{если } x \ge 5 \\ -x + 7, & \text{если } x < 5 \end{cases}$

Вершина графика находится в точке излома $x = 5$, $y = |5 - 5| + 2 = 2$. Точка $(5, 2)$.

Для построения лучей возьмем по одной дополнительной точке:

• При $x > 5$, например $x=7$, $y = 7 - 3 = 4$. Точка $(7, 4)$.
• При $x < 5$, например $x=3$, $y = -3 + 7 = 4$. Точка $(3, 4)$.

Проводим лучи из точки $(5, 2)$ через точки $(7, 4)$ и $(3, 4)$.

Ответ: График функции $y = |x - 5| + 2$ — это "галочка", полученная сдвигом графика $y = |x|$ на 5 единиц вправо и на 2 единицы вверх. Вершина находится в точке $(5, 2)$. График состоит из лучей прямых $y = x - 3$ при $x \ge 5$ и $y = -x + 7$ при $x < 5$.

3) $y = |2x - 6| - x$

Для построения данного графика удобнее всего раскрыть модуль. Найдем точку, в которой подмодульное выражение равно нулю:

$2x - 6 = 0 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$.

Эта точка делит числовую прямую на два интервала. Рассмотрим каждый из них.

1. При $x \ge 3$, выражение $2x - 6 \ge 0$, следовательно $|2x - 6| = 2x - 6$.

Функция на этом промежутке принимает вид: $y = (2x - 6) - x = x - 6$.

2. При $x < 3$, выражение $2x - 6 < 0$, следовательно $|2x - 6| = -(2x - 6) = -2x + 6$.

Функция на этом промежутке принимает вид: $y = (-2x + 6) - x = -3x + 6$.

Итак, мы получили кусочно-линейную функцию:

$y = \begin{cases} x - 6, & \text{если } x \ge 3 \\ -3x + 6, & \text{если } x < 3 \end{cases}$

График состоит из двух лучей, которые сходятся в точке излома с абсциссой $x = 3$. Найдем ординату этой точки, подставив $x=3$ в любое из выражений:

$y = 3 - 6 = -3$. Точка излома (вершина) - $(3, -3)$.

Для построения каждого луча найдем по одной дополнительной точке:

• Для луча $y = x - 6$ (при $x \ge 3$): возьмем $x = 5 \Rightarrow y = 5 - 6 = -1$. Проводим луч из $(3, -3)$ через $(5, -1)$.
• Для луча $y = -3x + 6$ (при $x < 3$): возьмем $x = 0 \Rightarrow y = -3(0) + 6 = 6$. Проводим луч из $(3, -3)$ через $(0, 6)$.

Ответ: График функции $y = |2x - 6| - x$ — это ломаная, состоящая из двух лучей, сходящихся в точке $(3, -3)$. На промежутке $[3, +\infty)$ график совпадает с лучом прямой $y = x - 6$, а на промежутке $(-\infty, 3)$ — с лучом прямой $y = -3x + 6$.

157. При каких значениях $a$ уравнение:

1) $4x + a = 2$ имеет положительный корень;

2) $(a + 6)x = 3$ имеет отрицательный корень;

3) $(a - 1)x = a^2 - 1$ имеет единственный положительный корень?

1) 4x + a = 2 имеет положительный корень;

Данное уравнение является линейным относительно переменной $x$.
Для того чтобы найти корень уравнения, выразим $x$ через параметр $a$:
$4x = 2 - a$
$x = \frac{2 - a}{4}$
По условию задачи, корень уравнения должен быть положительным, то есть $x > 0$.
Составим и решим неравенство относительно $a$:
$\frac{2 - a}{4} > 0$
Так как знаменатель дроби (число 4) положителен, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы числитель был также положителен:
$2 - a > 0$
Перенесем $a$ в правую часть:
$2 > a$
Или, что то же самое, $a < 2$.
Следовательно, при $a < 2$ уравнение имеет положительный корень.
Ответ: $a \in (-\infty; 2)$.

2) (a + 6)x = 3 имеет отрицательный корень;

Это линейное уравнение вида $Bx = C$, где $B = a+6$ и $C = 3$.
Уравнение имеет единственный корень, если коэффициент при $x$ не равен нулю.
Рассмотрим случай, когда $a + 6 = 0$, то есть $a = -6$.
Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 3$. Это равенство неверно, следовательно, при $a = -6$ уравнение корней не имеет.
Если $a + 6 \neq 0$ (то есть $a \neq -6$), уравнение имеет единственный корень, который можно найти, разделив обе части на $(a+6)$:
$x = \frac{3}{a + 6}$
По условию, этот корень должен быть отрицательным: $x < 0$.
$\frac{3}{a + 6} < 0$
Так как числитель дроби (число 3) положителен, для того, чтобы вся дробь была отрицательной, ее знаменатель должен быть отрицательным:
$a + 6 < 0$
$a < -6$
Это условие не противоречит ранее найденному ограничению $a \neq -6$.
Ответ: $a \in (-\infty; -6)$.

3) (a - 1)x = a² - 1 имеет единственный положительный корень?

Это линейное уравнение. Заметим, что правую часть можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$.
Тогда уравнение примет вид:
$(a - 1)x = (a - 1)(a + 1)$
Проанализируем уравнение в зависимости от значения коэффициента при $x$.
Случай 1: Коэффициент при $x$ равен нулю.
$a - 1 = 0 \implies a = 1$.
Подставим $a = 1$ в уравнение: $(1 - 1)x = (1 - 1)(1 + 1) \implies 0 \cdot x = 0$.
Это равенство верно при любом значении $x$. Таким образом, при $a=1$ уравнение имеет бесконечное множество корней. Это не удовлетворяет условию о наличии единственного корня.
Случай 2: Коэффициент при $x$ не равен нулю.
$a - 1 \neq 0 \implies a \neq 1$.
В этом случае уравнение имеет единственный корень. Для его нахождения разделим обе части уравнения на $(a - 1)$:
$x = \frac{(a - 1)(a + 1)}{a - 1}$
$x = a + 1$
Согласно условию, этот единственный корень должен быть положительным, то есть $x > 0$.
$a + 1 > 0$
$a > -1$
Таким образом, для выполнения условий задачи необходимо, чтобы одновременно выполнялись два неравенства: $a > -1$ и $a \neq 1$.
Это означает, что подходят все числа из интервала $(-1; +\infty)$, за исключением числа 1.
Ответ: $a \in (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

158. При каких значениях $m$ уравнение:

1) $2 + 4x = m - 6$ имеет неотрицательный корень;

2) $mx = m^2 - 7m$ имеет единственный отрицательный корень?

1) Решим уравнение $2 + 4x = m - 6$ относительно $x$. Для этого выразим $x$ через $m$:

$4x = m - 6 - 2$

$4x = m - 8$

$x = \frac{m-8}{4}$

По условию, корень уравнения должен быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Подставим найденное выражение для $x$ в это неравенство:

$\frac{m-8}{4} \ge 0$

Так как знаменатель 4 — положительное число, знак неравенства сохранится, если мы умножим обе части на 4:

$m - 8 \ge 0$

$m \ge 8$

Следовательно, уравнение имеет неотрицательный корень при всех значениях $m$, которые больше или равны 8.

Ответ: $m \in [8, +\infty)$.

2) Рассмотрим уравнение $mx = m^2 - 7m$.

Это линейное уравнение вида $ax=b$, где $a=m$ и $b=m^2-7m$. Уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $m \ne 0$.

Рассмотрим случай, когда $m \ne 0$. В этом случае мы можем найти единственный корень, разделив обе части уравнения на $m$:

$x = \frac{m^2 - 7m}{m}$

$x = \frac{m(m-7)}{m}$

$x = m - 7$

По условию задачи, этот корень должен быть отрицательным, то есть $x < 0$.

$m - 7 < 0$

$m < 7$

Таким образом, мы имеем два условия: $m \ne 0$ и $m < 7$.

Рассмотрим случай, когда $m=0$. Уравнение принимает вид:

$0 \cdot x = 0^2 - 7 \cdot 0$

$0 \cdot x = 0$

Это равенство верно для любого действительного числа $x$. Значит, при $m=0$ уравнение имеет бесконечно много корней, что не удовлетворяет условию о единственном корне.

Объединяя условия $m \ne 0$ и $m < 7$, получаем искомые значения $m$.

Ответ: $m \in (-\infty, 0) \cup (0, 7)$.