Страница 45 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

177. Укажите на рисунке 14 изображение множества решений системы неравенств $\begin{cases} x > -1, \\ x &\le 6. \end{cases}$

Рис. 14

а

б

в

г

Для решения данной системы неравенств необходимо найти пересечение множеств решений каждого из неравенств.

$\begin{cases}x > -1, \\x \le 6.\end{cases}$

Первое неравенство $x > -1$ является строгим. Это означает, что значение $x = -1$ не входит в множество решений. На числовой оси такая точка обозначается выколотым (пустым) кружком. Решением этого неравенства являются все числа, лежащие справа от $-1$, то есть числовой промежуток $(-1; +\infty)$.

Второе неравенство $x \le 6$ является нестрогим. Это означает, что значение $x = 6$ входит в множество решений. На числовой оси такая точка обозначается закрашенным (сплошным) кружком. Решением этого неравенства являются все числа, лежащие слева от $6$ (включая $6$), то есть числовой промежуток $(-\infty; 6]$.

Решением системы является пересечение этих двух промежутков: $(-1; +\infty) \cap (-\infty; 6]$. Это все числа, которые одновременно больше $-1$ и меньше или равны $6$. Таким образом, искомое множество решений — это полуинтервал $(-1; 6]$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных рисунков:

а На этом рисунке показано объединение двух промежутков: $(-\infty; -1)$ и $(6; +\infty)$. Это не соответствует решению системы.

б На этом рисунке изображен промежуток от $-1$ до $6$. Точка $-1$ отмечена выколотым кружком, что соответствует строгому неравенству $x > -1$. Точка $6$ отмечена закрашенным кружком, что соответствует нестрогому неравенству $x \le 6$. Этот рисунок полностью соответствует найденному решению $(-1; 6]$.

в На этом рисунке изображен отрезок $[-1; 6]$, так как обе граничные точки, $-1$ и $6$, закрашены. Это неверно, потому что точка $-1$ не должна входить в множество решений.

г На этом рисунке изображен полуинтервал $[-1; 6)$. Точка $-1$ закрашена, а точка $6$ выколота. Это неверно, так как знаки неравенств для граничных точек в системе противоположны.

Следовательно, верное изображение представлено на рисунке б.

Ответ: б

178. Укажите на рисунке 15 изображение множества решений двойного неравенства $-4 \le x \le 2$.

Рис. 15

а

-4 2

в

-4 2

б

-4 2

г

-4 2

Двойное неравенство $ -4 \le x \le 2 $ задает множество всех чисел $x$, которые больше или равны $-4$ и одновременно меньше или равны $2$. В виде числового промежутка это записывается как $[-4, 2]$.

При изображении числовых промежутков на координатной прямой используются следующие обозначения:

• Если неравенство нестрогое ($ \le $ или $ \ge $), то соответствующая точка на оси закрашивается (●), что означает, что данное число входит в множество решений.
• Если неравенство строгое ($ < $ или $ > $), то точка изображается выколотой или пустой (○), что означает, что данное число не входит в множество решений.

Проанализируем каждый из предложенных рисунков:

а: На данном рисунке изображен числовой промежуток с выколотыми точками на концах. Это соответствует строгому двойному неравенству $ -4 < x < 2 $, или промежутку $ (-4; 2) $.

б: На этом рисунке точка $-4$ выколота, а точка $2$ закрашена. Это соответствует неравенству $ -4 < x \le 2 $, или промежутку $ (-4; 2] $.

в: Здесь показано объединение двух лучей, направленных в разные стороны от точек $-4$ и $2$. Обе точки закрашены. Это соответствует совокупности неравенств $ x \le -4 $ или $ x \ge 2 $, или объединению промежутков $ (-\infty; -4] \cup [2; +\infty) $.

г: На этом рисунке изображен отрезок, концы которого, точки $-4$ и $2$, закрашены. Это соответствует нестрогому двойному неравенству $ -4 \le x \le 2 $, или промежутку $ [-4; 2] $.

Следовательно, изображение на рисунке г является правильным решением для неравенства $ -4 \le x \le 2 $.

Ответ: г.

179. Какой из данных промежутков является множеством решений системы неравенств

$\begin{cases} x > -1, \\ x > 2: \end{cases}$

1) $(-\infty; -1);$

2) $(-1; 2);$

3) $(2; +\infty);$

4) $(-1; +\infty)?$

Для решения системы неравенств необходимо найти множество значений $x$, которые удовлетворяют каждому неравенству системы одновременно.

Дана система неравенств: $$ \begin{cases} x > -1, \\ x > 2. \end{cases} $$

Рассмотрим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство $x > -1$ означает, что решением являются все числа, расположенные на числовой прямой правее точки -1. В виде интервала это записывается как $(-1; +\infty)$.

Второе неравенство $x > 2$ означает, что решением являются все числа, расположенные на числовой прямой правее точки 2. В виде интервала это записывается как $(2; +\infty)$.

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств, то есть нам нужно найти числа, которые одновременно и больше -1, и больше 2.

Логично, что если число больше 2, то оно заведомо больше и -1. Следовательно, второе неравенство является более строгим и его решение будет решением всей системы.

Таким образом, пересечением интервалов $(-1; +\infty)$ и $(2; +\infty)$ является интервал $(2; +\infty)$.

Среди предложенных вариантов ответов:
1) $(-\infty; -1)$;
2) $(-1; 2)$;
3) $(2; +\infty)$;
4) $(-1; +\infty)$;
нашему решению соответствует вариант под номером 3.

Ответ: 3) $(2; +\infty)$

180. Известно, что $a < b < c < d$. Какой из данных промежутков является пересечением промежутков $(a; c)$ и $(b; d):

1) $(a; d);$

2) $(b; c);$

3) $(c; d);$

4) $(a; b)?$

По условию задачи даны четыре числа, связанные строгим неравенством $a < b < c < d$. Нам необходимо найти пересечение двух открытых промежутков (интервалов): $(a; c)$ и $(b; d)$.

Пересечение двух множеств — это множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат обоим исходным множествам. Пересечение промежутков $(a; c)$ и $(b; d)$ обозначается как $(a; c) \cap (b; d)$. Мы ищем все числа $x$, которые удовлетворяют одновременно двум условиям: $x$ находится в промежутке $(a; c)$ и $x$ находится в промежутке $(b; d)$.

Запишем эти условия в виде системы неравенств:
1. Принадлежность промежутку $(a; c)$ означает, что $a < x < c$.
2. Принадлежность промежутку $(b; d)$ означает, что $b < x < d$.

Чтобы найти пересечение, нужно решить систему неравенств: $ \begin{cases} a < x < c \\ b < x < d \end{cases} $

Эту систему можно представить в виде двух отдельных систем для левой и правой границ:
- Для левой границы: $x > a$ и $x > b$. Так как по условию $a < b$, то более строгим (сильным) ограничением является $x > b$. Любое число, которое больше $b$, заведомо будет больше $a$.
- Для правой границы: $x < c$ и $x < d$. Так как по условию $c < d$, то более строгим ограничением является $x < c$. Любое число, которое меньше $c$, заведомо будет меньше $d$.

Объединяя самые строгие ограничения с обеих сторон, мы получаем итоговое двойное неравенство для $x$: $b < x < c$.

Это неравенство задает открытый промежуток $(b; c)$.
Среди предложенных вариантов:
1) $(a; d)$
2) $(b; c)$
3) $(c; d)$
4) $(a; b)$
наш результат совпадает с вариантом 2.

Ответ: 2) $(b; c)$.