Страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

213. При каких значениях $b$ множество решений системы неравенств $\begin{cases} x < 5, \\ x \ge b \end{cases}$ содержит ровно три целых числа?

Решением системы неравенств $\begin{cases} x < 5 \\ x \ge b \end{cases}$ является множество всех чисел $x$, удовлетворяющих обоим условиям одновременно. Это можно записать в виде двойного неравенства $b \le x < 5$.

Геометрически это представляет собой числовой промежуток $[b, 5)$.

По условию задачи, этот промежуток должен содержать ровно три целых числа. Найдем, какие именно это могут быть числа. Поскольку $x < 5$, наибольшим возможным целым решением является число $4$. Чтобы в решении было ровно три целых числа, это должны быть три последовательных целых числа, наибольшее из которых равно $4$. Таким образом, искомые целые числа — это $4, 3$ и $2$.

Теперь определим, каким должен быть параметр $b$, чтобы промежуток $[b, 5)$ содержал числа $2, 3, 4$ и не содержал никаких других целых чисел.

1. Чтобы число $2$ входило в промежуток решений, левая граница $b$ должна быть не больше $2$. То есть, должно выполняться условие $b \le 2$.

2. Чтобы следующее меньшее целое число, то есть $1$, не входило в промежуток решений, левая граница $b$ должна быть строго больше $1$. То есть, должно выполняться условие $b > 1$.

Объединив эти два условия для $b$, получаем систему: $\begin{cases} b \le 2 \\ b > 1 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $1 < b \le 2$.

Ответ: $1 < b \le 2$.

214. При каких значениях $a$ наименьшим целым решением системы неравенств $ \begin{cases} x \ge 6, \\ x > a \end{cases} $ является число 9?

Нам дана система неравенств: $$ \begin{cases} x \ge 6 \\ x > a \end{cases} $$ Требуется найти все значения параметра $a$, при которых наименьшим целым решением этой системы является число 9.

Решением системы является пересечение множеств решений каждого из неравенств. Первое неравенство $x \ge 6$ задает числовой промежуток $[6, +\infty)$. Второе неравенство $x > a$ задает числовой промежуток $(a, +\infty)$. Следовательно, решение системы — это пересечение этих промежутков: $x \in [6, +\infty) \cap (a, +\infty)$.

Для того чтобы найти это пересечение, рассмотрим три возможных случая взаимного расположения точки $a$ и числа 6 на числовой оси.

Случай 1: $a < 6$
В этом случае, любое число, которое больше или равно 6, автоматически будет больше $a$. Таким образом, пересечением промежутков $[6, +\infty)$ и $(a, +\infty)$ будет промежуток $[6, +\infty)$. Наименьшим целым числом в этом промежутке является 6. Это не соответствует условию задачи, согласно которому наименьшее целое решение равно 9.

Случай 2: $a = 6$
Система неравенств принимает вид: $$ \begin{cases} x \ge 6 \\ x > 6 \end{cases} $$ Решением этой системы является промежуток $(6, +\infty)$. Наименьшим целым числом в этом промежутке является 7. Это также не удовлетворяет условию задачи.

Случай 3: $a > 6$
В этом случае, любое число, которое больше $a$, автоматически будет больше 6. Пересечением промежутков $[6, +\infty)$ и $(a, +\infty)$ является промежуток $(a, +\infty)$. По условию, наименьшее целое решение системы должно быть равно 9. Это означает, что число 9 является наименьшим целым числом, принадлежащим промежутку $(a, +\infty)$. Это, в свою очередь, означает, что:
1) Число 9 должно входить в этот промежуток, то есть должно выполняться неравенство $9 > a$.
2) Предыдущее целое число, 8, не должно входить в этот промежуток, то есть должно выполняться неравенство $8 \le a$. Если бы было $a < 8$, то 8 оказалось бы в промежутке $(a, +\infty)$, и тогда наименьшим целым решением было бы 8 (или меньшее число), что противоречит условию.

Объединяя два полученных условия для параметра $a$, получаем двойное неравенство: $$ 8 \le a < 9 $$ Все значения $a$ из этого промежутка удовлетворяют исходному предположению $a > 6$.

Таким образом, мы нашли искомые значения параметра $a$.

Ответ: $8 \le a < 9$.

215. При каких значениях $b$ наибольшим целым решением системы неравенств $\begin{cases} x \le b, \\ x < -2 \end{cases}$ является число $-6$?

Для нахождения решения системы неравенств необходимо найти пересечение множеств решений каждого из неравенств.

Система неравенств: $ \begin{cases} x \le b, \\ x < -2 \end{cases} $

Решение системы зависит от взаимного расположения чисел $b$ и $-2$ на числовой оси. Рассмотрим два случая.

1. Если $b \ge -2$, то любое число, которое меньше $-2$, будет также меньше или равно $b$. Следовательно, решением системы будет неравенство $x < -2$. Множество целых решений в этом случае: $\{..., -5, -4, -3\}$. Наибольшим целым решением является число $-3$. Это не соответствует условию задачи, по которому наибольшее целое решение равно $-6$.

2. Если $b < -2$, то любое число, которое меньше или равно $b$, будет также меньше $-2$. Следовательно, решением системы будет неравенство $x \le b$.

По условию, наибольшим целым решением системы является число $-6$. Это означает, что число $-6$ должно удовлетворять неравенству $x \le b$, а следующее за ним целое число, $-5$, не должно ему удовлетворять.

Таким образом, должны выполняться два условия одновременно:
- Число $-6$ является решением: $-6 \le b$.
- Число $-5$ не является решением: $-5 > b$, или $b < -5$.

Объединяя эти два условия, получаем двойное неравенство для $b$:
$-6 \le b < -5$.

Ответ: $-6 \le b < -5$.

216. При каких значениях $a$ корни уравнения $x^2 - 2ax + a^2 - 4 = 0$ меньше числа $5$?

Для того чтобы найти значения параметра $a$, при которых корни уравнения $x^2 - 2ax + a^2 - 4 = 0$ меньше числа 5, сначала найдем сами корни этого уравнения в явном виде.

Уравнение является квадратным относительно $x$. Вычислим его дискриминант $D$:

$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 4) = 4a^2 - 4a^2 + 16 = 16.$

Поскольку дискриминант $D = 16 > 0$, уравнение всегда имеет два различных действительных корня при любом значении параметра $a$.

Найдем корни уравнения, используя формулу корней квадратного уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-(-2a) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2a \pm 4}{2} = a \pm 2.$

Таким образом, корнями уравнения являются $x_1 = a - 2$ и $x_2 = a + 2$.

Согласно условию задачи, оба корня должны быть меньше 5. Это означает, что должны одновременно выполняться два неравенства: $x_1 < 5$ и $x_2 < 5$. Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} a - 2 < 5 \\ a + 2 < 5 \end{cases}$

Решим эту систему неравенств:

$\begin{cases} a < 5 + 2 \\ a < 5 - 2 \end{cases} \implies \begin{cases} a < 7 \\ a < 3 \end{cases}$

Общим решением системы является пересечение двух полученных условий: $a < 7$ и $a < 3$. Более строгим из них является неравенство $a < 3$, которое и будет итоговым решением.

Ответ: $a < 3$

217. При каких значениях $a$ корни уравнения $x^2 - (4a - 2)x + 3a^2 - 4a + 1 = 0$ принадлежат промежутку $[-2; 8]$?

Рассмотрим данное квадратное уравнение относительно переменной $x$: $x^2 - (4a - 2)x + 3a^2 - 4a + 1 = 0$

Чтобы найти значения параметра $a$, при которых корни уравнения принадлежат заданному промежутку, сначала найдем сами корни, выразив их через $a$. Для этого вычислим дискриминант $D$ уравнения. $D = b^2 - 4ac = (-(4a - 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3a^2 - 4a + 1)$ $D = (4a - 2)^2 - 4(3a^2 - 4a + 1) = (16a^2 - 16a + 4) - (12a^2 - 16a + 4)$ $D = 16a^2 - 16a + 4 - 12a^2 + 16a - 4 = 4a^2 = (2a)^2$

Поскольку дискриминант $D = 4a^2 \ge 0$ при любых действительных значениях $a$, уравнение всегда имеет действительные корни. Найдем их по формуле корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a_{coef}} = \frac{(4a - 2) \pm \sqrt{(2a)^2}}{2} = \frac{4a - 2 \pm 2a}{2}$

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = \frac{4a - 2 + 2a}{2} = \frac{6a - 2}{2} = 3a - 1$ $x_2 = \frac{4a - 2 - 2a}{2} = \frac{2a - 2}{2} = a - 1$

По условию задачи, оба корня должны принадлежать промежутку $[-2; 8]$. Это означает, что должны одновременно выполняться два двойных неравенства: $-2 \le x_1 \le 8$ и $-2 \le x_2 \le 8$. Составим систему неравенств для параметра $a$: $\begin{cases} -2 \le 3a - 1 \le 8 \\ -2 \le a - 1 \le 8 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы отдельно.
1) Решим первое неравенство: $-2 \le 3a - 1 \le 8$ Прибавим 1 ко всем частям неравенства: $-2 + 1 \le 3a \le 8 + 1$ $-1 \le 3a \le 9$ Разделим все части на 3 (так как 3 > 0, знаки неравенства не меняются): $-\frac{1}{3} \le a \le 3$ Решением первого неравенства является промежуток $a \in [-\frac{1}{3}; 3]$.

2) Решим второе неравенство: $-2 \le a - 1 \le 8$ Прибавим 1 ко всем частям неравенства: $-2 + 1 \le a \le 8 + 1$ $-1 \le a \le 9$ Решением второго неравенства является промежуток $a \in [-1; 9]$.

Чтобы выполнялись оба условия, необходимо найти пересечение полученных промежутков: $a \in [-\frac{1}{3}; 3] \cap [-1; 9]$ Пересечением этих двух множеств является промежуток $[-\frac{1}{3}; 3]$.

Ответ: $a \in [-\frac{1}{3}; 3]$.

218. При каких значениях $a$ один из корней уравнения $3x^2 - (2a + 5)x + 2 + a - a^2 = 0$ меньше $-2$, а другой $-$ больше $3$?

Рассмотрим функцию $f(x) = 3x^2 - (2a + 5)x + 2 + a - a^2$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 3 (что больше нуля).

По условию задачи, один из корней уравнения $f(x)=0$, обозначим его $x_1$, меньше -2, а другой корень, $x_2$, больше 3. То есть, должно выполняться неравенство $x_1 < -2 < 3 < x_2$.

Для параболы с ветвями вверх это означает, что значения функции в точках $x = -2$ и $x = 3$ должны быть отрицательными. Это условие является необходимым и достаточным. Таким образом, мы должны решить систему неравенств:

$\begin{cases} f(-2) < 0 \\ f(3) < 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $f(-2) < 0$.
Подставим $x = -2$ в уравнение функции:
$f(-2) = 3(-2)^2 - (2a + 5)(-2) + 2 + a - a^2$
$f(-2) = 3 \cdot 4 + 2(2a + 5) + 2 + a - a^2$
$f(-2) = 12 + 4a + 10 + 2 + a - a^2$
$f(-2) = -a^2 + 5a + 24$
Теперь решаем неравенство $-a^2 + 5a + 24 < 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$a^2 - 5a - 24 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $a^2 - 5a - 24 = 0$ по теореме Виета или через дискриминант:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$
$a_1 = \frac{5 - 11}{2} = -3$
$a_2 = \frac{5 + 11}{2} = 8$
Парабола $y = a^2 - 5a - 24$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $a^2 - 5a - 24 > 0$ выполняется при значениях $a$ вне интервала между корнями.
Решение первого неравенства: $a \in (-\infty, -3) \cup (8, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство $f(3) < 0$.
Подставим $x = 3$ в уравнение функции:
$f(3) = 3(3)^2 - (2a + 5)(3) + 2 + a - a^2$
$f(3) = 3 \cdot 9 - 3(2a + 5) + 2 + a - a^2$
$f(3) = 27 - 6a - 15 + 2 + a - a^2$
$f(3) = -a^2 - 5a + 14$
Теперь решаем неравенство $-a^2 - 5a + 14 < 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$a^2 + 5a - 14 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $a^2 + 5a - 14 = 0$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$
$a_1 = \frac{-5 - 9}{2} = -7$
$a_2 = \frac{-5 + 9}{2} = 2$
Парабола $y = a^2 + 5a - 14$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $a^2 + 5a - 14 > 0$ выполняется при значениях $a$ вне интервала между корнями.
Решение второго неравенства: $a \in (-\infty, -7) \cup (2, +\infty)$.

3. Найдем общее решение системы, то есть пересечение полученных множеств:
$\begin{cases} a \in (-\infty, -3) \cup (8, +\infty) \\ a \in (-\infty, -7) \cup (2, +\infty) \end{cases}$
Пересекая эти два множества (например, с помощью числовой оси), получаем:
$(-\infty, -7) \cup (8, +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty, -7) \cup (8, +\infty)$.

219. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2}{x^2 - 16} = \frac{3x + 4}{x^2 - 16}$;

2) $\frac{5}{x - 3} - \frac{8}{x} = 3.$

1) $\frac{x^2}{x^2 - 16} = \frac{3x + 4}{x^2 - 16}$

Данное уравнение является дробно-рациональным. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дробей не может быть равен нулю.

$x^2 - 16 \neq 0$

$(x-4)(x+4) \neq 0$

Отсюда следует, что $x \neq 4$ и $x \neq -4$.

Поскольку знаменатели в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять числители, учитывая ОДЗ.

$x^2 = 3x + 4$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 4$ и $x \neq -4$).

Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -1.

2) $\frac{5}{x - 3} - \frac{8}{x} = 3$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.

$x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$

$x \neq 0$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x-3)$:

$\frac{5x}{x(x - 3)} - \frac{8(x-3)}{x(x-3)} = 3$

$\frac{5x - 8(x-3)}{x(x-3)} = 3$

$\frac{5x - 8x + 24}{x^2 - 3x} = 3$

$\frac{-3x + 24}{x^2 - 3x} = 3$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2 - 3x$, так как мы уже учли, что он не равен нулю.

$-3x + 24 = 3(x^2 - 3x)$

$-3x + 24 = 3x^2 - 9x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3x^2 - 9x + 3x - 24 = 0$

$3x^2 - 6x - 24 = 0$

Разделим все уравнение на 3 для упрощения:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 3$ и $x \neq 0$).

Оба корня, $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -2; 4.

220. Упростите выражение:

1) $0,5\sqrt{24} - 4\sqrt{40} - \sqrt{150} + \sqrt{54} + \sqrt{1000};$

2) $\sqrt{8b} + 0,3\sqrt{50b} - 3\sqrt{2b};$

3) $1,5\sqrt{72} - \sqrt{216} - 0,6\sqrt{450} + 0,5\sqrt{96}.$

1)

Для того чтобы упростить выражение $0,5\sqrt{24} - 4\sqrt{40} - \sqrt{150} + \sqrt{54} + \sqrt{1000}$, необходимо вынести множители из-под знака корня в каждом слагаемом. Для этого разложим подкоренные выражения на множители так, чтобы один из множителей был полным квадратом.

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$

$\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{10} = 2\sqrt{10}$

$\sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{6} = 5\sqrt{6}$

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{6} = 3\sqrt{6}$

$\sqrt{1000} = \sqrt{100 \cdot 10} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{10} = 10\sqrt{10}$

Теперь подставим упрощенные корни обратно в исходное выражение:

$0,5 \cdot (2\sqrt{6}) - 4 \cdot (2\sqrt{10}) - 5\sqrt{6} + 3\sqrt{6} + 10\sqrt{10} = \sqrt{6} - 8\sqrt{10} - 5\sqrt{6} + 3\sqrt{6} + 10\sqrt{10}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковыми иррациональными частями):

$(\sqrt{6} - 5\sqrt{6} + 3\sqrt{6}) + (-8\sqrt{10} + 10\sqrt{10})$

Сложим коэффициенты у подобных членов:

$(1 - 5 + 3)\sqrt{6} + (-8 + 10)\sqrt{10} = -1\sqrt{6} + 2\sqrt{10} = 2\sqrt{10} - \sqrt{6}$

Ответ: $2\sqrt{10} - \sqrt{6}$

2)

Упростим выражение $\sqrt{8b} + 0,3\sqrt{50b} - 3\sqrt{2b}$. Для этого вынесем множители из-под знака корня, предполагая, что $b \ge 0$.

$\sqrt{8b} = \sqrt{4 \cdot 2b} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2b} = 2\sqrt{2b}$

$\sqrt{50b} = \sqrt{25 \cdot 2b} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2b} = 5\sqrt{2b}$

Подставим упрощенные корни в исходное выражение:

$2\sqrt{2b} + 0,3 \cdot (5\sqrt{2b}) - 3\sqrt{2b} = 2\sqrt{2b} + 1,5\sqrt{2b} - 3\sqrt{2b}$

Все слагаемые являются подобными, так как содержат одинаковый множитель $\sqrt{2b}$. Сложим их коэффициенты:

$(2 + 1,5 - 3)\sqrt{2b} = (3,5 - 3)\sqrt{2b} = 0,5\sqrt{2b}$

Ответ: $0,5\sqrt{2b}$

3)

Упростим выражение $1,5\sqrt{72} - \sqrt{216} - 0,6\sqrt{450} + 0,5\sqrt{96}$. Сначала упростим каждый корень.

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

$\sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{6} = 6\sqrt{6}$

$\sqrt{450} = \sqrt{225 \cdot 2} = \sqrt{225} \cdot \sqrt{2} = 15\sqrt{2}$

$\sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{6} = 4\sqrt{6}$

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$1,5 \cdot (6\sqrt{2}) - 6\sqrt{6} - 0,6 \cdot (15\sqrt{2}) + 0,5 \cdot (4\sqrt{6})$

Выполним умножение коэффициентов:

$9\sqrt{2} - 6\sqrt{6} - 9\sqrt{2} + 2\sqrt{6}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(9\sqrt{2} - 9\sqrt{2}) + (-6\sqrt{6} + 2\sqrt{6}) = 0 + (-4\sqrt{6}) = -4\sqrt{6}$

Ответ: $-4\sqrt{6}$

221. Выразите из данного равенства переменную x через другие переменные:

1) $2x - \frac{m}{n} = 2;$

2) $\frac{1}{m} - \frac{1}{x} = \frac{1}{n}.$

1) Чтобы выразить переменную $x$ из равенства $2x - \frac{m}{n} = 2$, выполним следующие шаги:

Сначала перенесем слагаемое, не содержащее $x$, в правую часть уравнения, изменив его знак:

$2x = 2 + \frac{m}{n}$

Приведем слагаемые в правой части к общему знаменателю $n$:

$2x = \frac{2n}{n} + \frac{m}{n}$

$2x = \frac{2n + m}{n}$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2. Это эквивалентно умножению знаменателя правой части на 2:

$x = \frac{2n + m}{2n}$

При решении мы предполагаем, что $n \neq 0$, так как это знаменатель в исходном выражении.

Ответ: $x = \frac{2n + m}{2n}$

2) Чтобы выразить переменную $x$ из равенства $\frac{1}{m} - \frac{1}{x} = \frac{1}{n}$, выполним следующие шаги:

Исходное уравнение имеет смысл при $m \neq 0$, $x \neq 0$, $n \neq 0$.

Выразим слагаемое $\frac{1}{x}$. Для этого перенесем его в правую часть, а $\frac{1}{n}$ — в левую, изменив их знаки:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{m} - \frac{1}{n}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $mn$:

$\frac{1}{x} = \frac{n}{mn} - \frac{m}{mn}$

$\frac{1}{x} = \frac{n-m}{mn}$

Теперь, чтобы найти $x$, воспользуемся свойством пропорции (если $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, то $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$) и "перевернем" обе части равенства:

$x = \frac{mn}{n-m}$

Из полученного выражения следует дополнительное условие: знаменатель $n-m$ не должен быть равен нулю, то есть $n \neq m$.

Ответ: $x = \frac{mn}{n-m}$

222. Известно, что $a$ – чётное число, $b$ – нечётное, $a > b$. Значение какого из данных выражений может быть целым числом:

1) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a};$

2) $\frac{a}{b} - \frac{b}{a};$

3) $\frac{a}{b};$

4) $\frac{b}{a}?$

По условию задачи дано, что $a$ — чётное число, $b$ — нечётное число, и $a > b$. Необходимо определить, значение какого из предложенных выражений может быть целым числом. Проанализируем каждый вариант.

1) $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

Приведем данное выражение к общему знаменателю: $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} = \frac{a^2+b^2}{ab}$.
Рассмотрим четность числителя и знаменателя получившейся дроби:
Поскольку $a$ — чётное число, то $a^2$ также является чётным (как произведение двух чётных чисел).
Поскольку $b$ — нечётное число, то $b^2$ также является нечётным (как произведение двух нечётных чисел).
Числитель $a^2+b^2$ представляет собой сумму чётного и нечётного чисел, что в результате всегда даёт нечётное число.
Знаменатель $ab$ представляет собой произведение чётного и нечётного чисел, что в результате всегда даёт чётное число.
Таким образом, мы имеем дробь, у которой числитель — нечётное число, а знаменатель — чётное. Нечётное число не делится нацело ни на какое чётное число. Следовательно, это выражение не может быть целым.
Ответ: не может быть целым числом.

2) $\frac{a}{b}-\frac{b}{a}$

Приведем выражение к общему знаменателю: $\frac{a}{b}-\frac{b}{a} = \frac{a^2-b^2}{ab}$.
Аналогично первому пункту, проанализируем четность числителя и знаменателя:
Числитель $a^2-b^2$ представляет собой разность чётного числа ($a^2$) и нечётного числа ($b^2$), что в результате всегда даёт нечётное число.
Знаменатель $ab$ является чётным числом.
Мы снова получили дробь с нечётным числителем и чётным знаменателем, которая не может равняться целому числу.
Ответ: не может быть целым числом.

3) $\frac{a}{b}$

Это выражение может быть целым, если чётное число $a$ делится нацело на нечётное число $b$. Это возможно.
Чтобы доказать это, достаточно привести один пример, удовлетворяющий всем условиям задачи.
Пусть $a = 6$ и $b = 3$.
Проверяем условия: $a=6$ — чётное, $b=3$ — нечётное, $a > b$ (так как $6 > 3$). Все условия выполнены.
Теперь вычислим значение выражения: $\frac{a}{b} = \frac{6}{3} = 2$.
Число $2$ является целым. Следовательно, значение этого выражения может быть целым числом.
Ответ: может быть целым числом.

4) $\frac{b}{a}$

Это выражение представляет собой частное от деления нечётного числа $b$ на чётное число $a$.
Для того чтобы значение этой дроби было целым, необходимо, чтобы знаменатель $a$ был делителем числителя $b$. Однако все делители нечётного числа $b$ также являются нечётными числами. Поскольку по условию $a$ — чётное, оно не может быть делителем нечётного числа $b$.
Кроме того, из условия $a > b$ (и предполагая, что числа положительные, как это обычно бывает в задачах на чётность/нечётность), следует, что $0 < \frac{b}{a} < 1$. Значение дроби находится между 0 и 1 и не может быть целым числом.
Ответ: не может быть целым числом.

223. Сколько килограммов соли содержится в 40 кг 9-процентного раствора?

223. Для того чтобы определить массу соли в растворе, необходимо найти долю соли от общей массы раствора.
Дано:
Общая масса раствора составляет $40$ кг.
Концентрация соли в растворе составляет $9\%$.
Чтобы найти массу соли, нужно умножить общую массу раствора на концентрацию, выраженную в виде десятичной дроби.
Сначала переведем проценты в десятичную дробь:
$9\% = \frac{9}{100} = 0.09$
Теперь вычислим массу соли, умножив массу раствора на эту долю:
$40 \text{ кг} \times 0.09 = 3.6 \text{ кг}$
Таким образом, в 40 кг 9-процентного раствора содержится 3,6 кг соли.
Ответ: 3,6 кг.

224. Руда содержит 8 % олова. Сколько надо взять килограммов руды, чтобы получить 72 кг олова?

Пусть $x$ — это искомая масса руды в килограммах.

По условию задачи, руда содержит 8% олова. Это означает, что масса чистого олова составляет 8% от общей массы руды. Требуется получить 72 кг олова.

Чтобы найти общую массу руды, можно составить пропорцию или уравнение. Переведем проценты в десятичную дробь: $8\% = \frac{8}{100} = 0.08$.

Теперь составим уравнение, где $x$ — это 100% массы руды, а 72 кг — это 8% от этой массы:

$0.08 \cdot x = 72$

Чтобы найти $x$, необходимо разделить массу олова на его долю в руде:

$x = \frac{72}{0.08}$

Для удобства вычислений можно избавиться от дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{72 \cdot 100}{0.08 \cdot 100} = \frac{7200}{8}$

$x = 900$

Следовательно, для получения 72 кг олова необходимо взять 900 кг руды.

Ответ: 900 кг.

225. Каково процентное содержание соли в растворе, если в 350 г раствора содержится 21 г соли?

Для нахождения процентного содержания соли в растворе необходимо использовать формулу процентной концентрации. Она определяется как отношение массы растворенного вещества (в данном случае, соли) к общей массе раствора, умноженное на 100%.

Нам даны следующие значения:
Масса раствора ($m_{раствора}$) = 350 г
Масса соли ($m_{соли}$) = 21 г

Формула для расчета процентного содержания выглядит так:
$ \text{Процентное содержание} = \frac{m_{соли}}{m_{раствора}} \times 100\% $

Теперь подставим известные значения в формулу и произведем расчет:
$ \text{Процентное содержание} = \frac{21}{350} \times 100\% $

Сначала выполним деление:
$ \frac{21}{350} = 0,06 $

Затем умножим полученное значение на 100, чтобы выразить результат в процентах:
$ 0,06 \times 100\% = 6\% $

Ответ: 6%.