Номер 219, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

219. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2}{x^2 - 16} = \frac{3x + 4}{x^2 - 16}$;

2) $\frac{5}{x - 3} - \frac{8}{x} = 3.$

1) $\frac{x^2}{x^2 - 16} = \frac{3x + 4}{x^2 - 16}$

Данное уравнение является дробно-рациональным. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дробей не может быть равен нулю.

$x^2 - 16 \neq 0$

$(x-4)(x+4) \neq 0$

Отсюда следует, что $x \neq 4$ и $x \neq -4$.

Поскольку знаменатели в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять числители, учитывая ОДЗ.

$x^2 = 3x + 4$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 4$ и $x \neq -4$).

Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -1.

2) $\frac{5}{x - 3} - \frac{8}{x} = 3$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.

$x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$

$x \neq 0$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x-3)$:

$\frac{5x}{x(x - 3)} - \frac{8(x-3)}{x(x-3)} = 3$

$\frac{5x - 8(x-3)}{x(x-3)} = 3$

$\frac{5x - 8x + 24}{x^2 - 3x} = 3$

$\frac{-3x + 24}{x^2 - 3x} = 3$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2 - 3x$, так как мы уже учли, что он не равен нулю.

$-3x + 24 = 3(x^2 - 3x)$

$-3x + 24 = 3x^2 - 9x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3x^2 - 9x + 3x - 24 = 0$

$3x^2 - 6x - 24 = 0$

Разделим все уравнение на 3 для упрощения:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 3$ и $x \neq 0$).

Оба корня, $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -2; 4.