Номер 217, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

217. При каких значениях $a$ корни уравнения $x^2 - (4a - 2)x + 3a^2 - 4a + 1 = 0$ принадлежат промежутку $[-2; 8]$?

Рассмотрим данное квадратное уравнение относительно переменной $x$: $x^2 - (4a - 2)x + 3a^2 - 4a + 1 = 0$

Чтобы найти значения параметра $a$, при которых корни уравнения принадлежат заданному промежутку, сначала найдем сами корни, выразив их через $a$. Для этого вычислим дискриминант $D$ уравнения. $D = b^2 - 4ac = (-(4a - 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3a^2 - 4a + 1)$ $D = (4a - 2)^2 - 4(3a^2 - 4a + 1) = (16a^2 - 16a + 4) - (12a^2 - 16a + 4)$ $D = 16a^2 - 16a + 4 - 12a^2 + 16a - 4 = 4a^2 = (2a)^2$

Поскольку дискриминант $D = 4a^2 \ge 0$ при любых действительных значениях $a$, уравнение всегда имеет действительные корни. Найдем их по формуле корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a_{coef}} = \frac{(4a - 2) \pm \sqrt{(2a)^2}}{2} = \frac{4a - 2 \pm 2a}{2}$

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = \frac{4a - 2 + 2a}{2} = \frac{6a - 2}{2} = 3a - 1$ $x_2 = \frac{4a - 2 - 2a}{2} = \frac{2a - 2}{2} = a - 1$

По условию задачи, оба корня должны принадлежать промежутку $[-2; 8]$. Это означает, что должны одновременно выполняться два двойных неравенства: $-2 \le x_1 \le 8$ и $-2 \le x_2 \le 8$. Составим систему неравенств для параметра $a$: $\begin{cases} -2 \le 3a - 1 \le 8 \\ -2 \le a - 1 \le 8 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы отдельно.
1) Решим первое неравенство: $-2 \le 3a - 1 \le 8$ Прибавим 1 ко всем частям неравенства: $-2 + 1 \le 3a \le 8 + 1$ $-1 \le 3a \le 9$ Разделим все части на 3 (так как 3 > 0, знаки неравенства не меняются): $-\frac{1}{3} \le a \le 3$ Решением первого неравенства является промежуток $a \in [-\frac{1}{3}; 3]$.

2) Решим второе неравенство: $-2 \le a - 1 \le 8$ Прибавим 1 ко всем частям неравенства: $-2 + 1 \le a \le 8 + 1$ $-1 \le a \le 9$ Решением второго неравенства является промежуток $a \in [-1; 9]$.

Чтобы выполнялись оба условия, необходимо найти пересечение полученных промежутков: $a \in [-\frac{1}{3}; 3] \cap [-1; 9]$ Пересечением этих двух множеств является промежуток $[-\frac{1}{3}; 3]$.

Ответ: $a \in [-\frac{1}{3}; 3]$.