Номер 220, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

220. Упростите выражение:

1) $0,5\sqrt{24} - 4\sqrt{40} - \sqrt{150} + \sqrt{54} + \sqrt{1000};$

2) $\sqrt{8b} + 0,3\sqrt{50b} - 3\sqrt{2b};$

3) $1,5\sqrt{72} - \sqrt{216} - 0,6\sqrt{450} + 0,5\sqrt{96}.$

1)

Для того чтобы упростить выражение $0,5\sqrt{24} - 4\sqrt{40} - \sqrt{150} + \sqrt{54} + \sqrt{1000}$, необходимо вынести множители из-под знака корня в каждом слагаемом. Для этого разложим подкоренные выражения на множители так, чтобы один из множителей был полным квадратом.

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$

$\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{10} = 2\sqrt{10}$

$\sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{6} = 5\sqrt{6}$

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{6} = 3\sqrt{6}$

$\sqrt{1000} = \sqrt{100 \cdot 10} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{10} = 10\sqrt{10}$

Теперь подставим упрощенные корни обратно в исходное выражение:

$0,5 \cdot (2\sqrt{6}) - 4 \cdot (2\sqrt{10}) - 5\sqrt{6} + 3\sqrt{6} + 10\sqrt{10} = \sqrt{6} - 8\sqrt{10} - 5\sqrt{6} + 3\sqrt{6} + 10\sqrt{10}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковыми иррациональными частями):

$(\sqrt{6} - 5\sqrt{6} + 3\sqrt{6}) + (-8\sqrt{10} + 10\sqrt{10})$

Сложим коэффициенты у подобных членов:

$(1 - 5 + 3)\sqrt{6} + (-8 + 10)\sqrt{10} = -1\sqrt{6} + 2\sqrt{10} = 2\sqrt{10} - \sqrt{6}$

Ответ: $2\sqrt{10} - \sqrt{6}$

2)

Упростим выражение $\sqrt{8b} + 0,3\sqrt{50b} - 3\sqrt{2b}$. Для этого вынесем множители из-под знака корня, предполагая, что $b \ge 0$.

$\sqrt{8b} = \sqrt{4 \cdot 2b} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2b} = 2\sqrt{2b}$

$\sqrt{50b} = \sqrt{25 \cdot 2b} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2b} = 5\sqrt{2b}$

Подставим упрощенные корни в исходное выражение:

$2\sqrt{2b} + 0,3 \cdot (5\sqrt{2b}) - 3\sqrt{2b} = 2\sqrt{2b} + 1,5\sqrt{2b} - 3\sqrt{2b}$

Все слагаемые являются подобными, так как содержат одинаковый множитель $\sqrt{2b}$. Сложим их коэффициенты:

$(2 + 1,5 - 3)\sqrt{2b} = (3,5 - 3)\sqrt{2b} = 0,5\sqrt{2b}$

Ответ: $0,5\sqrt{2b}$

3)

Упростим выражение $1,5\sqrt{72} - \sqrt{216} - 0,6\sqrt{450} + 0,5\sqrt{96}$. Сначала упростим каждый корень.

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

$\sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{6} = 6\sqrt{6}$

$\sqrt{450} = \sqrt{225 \cdot 2} = \sqrt{225} \cdot \sqrt{2} = 15\sqrt{2}$

$\sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{6} = 4\sqrt{6}$

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$1,5 \cdot (6\sqrt{2}) - 6\sqrt{6} - 0,6 \cdot (15\sqrt{2}) + 0,5 \cdot (4\sqrt{6})$

Выполним умножение коэффициентов:

$9\sqrt{2} - 6\sqrt{6} - 9\sqrt{2} + 2\sqrt{6}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(9\sqrt{2} - 9\sqrt{2}) + (-6\sqrt{6} + 2\sqrt{6}) = 0 + (-4\sqrt{6}) = -4\sqrt{6}$

Ответ: $-4\sqrt{6}$