Номер 218, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

218. При каких значениях $a$ один из корней уравнения $3x^2 - (2a + 5)x + 2 + a - a^2 = 0$ меньше $-2$, а другой $-$ больше $3$?

Рассмотрим функцию $f(x) = 3x^2 - (2a + 5)x + 2 + a - a^2$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 3 (что больше нуля).

По условию задачи, один из корней уравнения $f(x)=0$, обозначим его $x_1$, меньше -2, а другой корень, $x_2$, больше 3. То есть, должно выполняться неравенство $x_1 < -2 < 3 < x_2$.

Для параболы с ветвями вверх это означает, что значения функции в точках $x = -2$ и $x = 3$ должны быть отрицательными. Это условие является необходимым и достаточным. Таким образом, мы должны решить систему неравенств:

$\begin{cases} f(-2) < 0 \\ f(3) < 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство $f(-2) < 0$.
Подставим $x = -2$ в уравнение функции:
$f(-2) = 3(-2)^2 - (2a + 5)(-2) + 2 + a - a^2$
$f(-2) = 3 \cdot 4 + 2(2a + 5) + 2 + a - a^2$
$f(-2) = 12 + 4a + 10 + 2 + a - a^2$
$f(-2) = -a^2 + 5a + 24$
Теперь решаем неравенство $-a^2 + 5a + 24 < 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$a^2 - 5a - 24 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $a^2 - 5a - 24 = 0$ по теореме Виета или через дискриминант:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$
$a_1 = \frac{5 - 11}{2} = -3$
$a_2 = \frac{5 + 11}{2} = 8$
Парабола $y = a^2 - 5a - 24$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $a^2 - 5a - 24 > 0$ выполняется при значениях $a$ вне интервала между корнями.
Решение первого неравенства: $a \in (-\infty, -3) \cup (8, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство $f(3) < 0$.
Подставим $x = 3$ в уравнение функции:
$f(3) = 3(3)^2 - (2a + 5)(3) + 2 + a - a^2$
$f(3) = 3 \cdot 9 - 3(2a + 5) + 2 + a - a^2$
$f(3) = 27 - 6a - 15 + 2 + a - a^2$
$f(3) = -a^2 - 5a + 14$
Теперь решаем неравенство $-a^2 - 5a + 14 < 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$a^2 + 5a - 14 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $a^2 + 5a - 14 = 0$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$
$a_1 = \frac{-5 - 9}{2} = -7$
$a_2 = \frac{-5 + 9}{2} = 2$
Парабола $y = a^2 + 5a - 14$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $a^2 + 5a - 14 > 0$ выполняется при значениях $a$ вне интервала между корнями.
Решение второго неравенства: $a \in (-\infty, -7) \cup (2, +\infty)$.

3. Найдем общее решение системы, то есть пересечение полученных множеств:
$\begin{cases} a \in (-\infty, -3) \cup (8, +\infty) \\ a \in (-\infty, -7) \cup (2, +\infty) \end{cases}$
Пересекая эти два множества (например, с помощью числовой оси), получаем:
$(-\infty, -7) \cup (8, +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty, -7) \cup (8, +\infty)$.