Номер 214, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

214. При каких значениях $a$ наименьшим целым решением системы неравенств $ \begin{cases} x \ge 6, \\ x > a \end{cases} $ является число 9?

Нам дана система неравенств: $$ \begin{cases} x \ge 6 \\ x > a \end{cases} $$ Требуется найти все значения параметра $a$, при которых наименьшим целым решением этой системы является число 9.

Решением системы является пересечение множеств решений каждого из неравенств. Первое неравенство $x \ge 6$ задает числовой промежуток $[6, +\infty)$. Второе неравенство $x > a$ задает числовой промежуток $(a, +\infty)$. Следовательно, решение системы — это пересечение этих промежутков: $x \in [6, +\infty) \cap (a, +\infty)$.

Для того чтобы найти это пересечение, рассмотрим три возможных случая взаимного расположения точки $a$ и числа 6 на числовой оси.

Случай 1: $a < 6$
В этом случае, любое число, которое больше или равно 6, автоматически будет больше $a$. Таким образом, пересечением промежутков $[6, +\infty)$ и $(a, +\infty)$ будет промежуток $[6, +\infty)$. Наименьшим целым числом в этом промежутке является 6. Это не соответствует условию задачи, согласно которому наименьшее целое решение равно 9.

Случай 2: $a = 6$
Система неравенств принимает вид: $$ \begin{cases} x \ge 6 \\ x > 6 \end{cases} $$ Решением этой системы является промежуток $(6, +\infty)$. Наименьшим целым числом в этом промежутке является 7. Это также не удовлетворяет условию задачи.

Случай 3: $a > 6$
В этом случае, любое число, которое больше $a$, автоматически будет больше 6. Пересечением промежутков $[6, +\infty)$ и $(a, +\infty)$ является промежуток $(a, +\infty)$. По условию, наименьшее целое решение системы должно быть равно 9. Это означает, что число 9 является наименьшим целым числом, принадлежащим промежутку $(a, +\infty)$. Это, в свою очередь, означает, что:
1) Число 9 должно входить в этот промежуток, то есть должно выполняться неравенство $9 > a$.
2) Предыдущее целое число, 8, не должно входить в этот промежуток, то есть должно выполняться неравенство $8 \le a$. Если бы было $a < 8$, то 8 оказалось бы в промежутке $(a, +\infty)$, и тогда наименьшим целым решением было бы 8 (или меньшее число), что противоречит условию.

Объединяя два полученных условия для параметра $a$, получаем двойное неравенство: $$ 8 \le a < 9 $$ Все значения $a$ из этого промежутка удовлетворяют исходному предположению $a > 6$.

Таким образом, мы нашли искомые значения параметра $a$.

Ответ: $8 \le a < 9$.