Номер 209, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

209. При каких значениях $a$ множеством решений системы неравенств

$\begin{cases} x > -1 \\ x \ge a \end{cases}$

является промежуток:

1) $(-1; +\infty);$

2) $[1; +\infty)?$

Дана система неравенств: $ \begin{cases} x > -1, \\ x \ge a \end{cases} $ Решением первого неравенства является множество $x \in (-1; +\infty)$. Решением второго неравенства является множество $x \in [a; +\infty)$. Решением системы является пересечение этих двух множеств: $(-1; +\infty) \cap [a; +\infty)$. Вид этого пересечения зависит от взаимного расположения точки $a$ относительно точки $-1$ на числовой оси.

1) При каких значениях a множеством решений является промежуток $(-1; +\infty)$?

Нам необходимо найти такие значения $a$, при которых пересечение множеств $(-1; +\infty)$ и $[a; +\infty)$ будет равно $(-1; +\infty)$. Это происходит в том случае, когда второе множество $[a; +\infty)$ полностью включает в себя первое множество $(-1; +\infty)$, то есть когда условие $x \ge a$ является менее строгим, чем $x > -1$ для всех $x$ из искомого интервала.

Рассмотрим различные случаи расположения $a$ относительно $-1$:

• Если $a > -1$, то для решения системы необходимо, чтобы $x$ был одновременно больше $-1$ и больше или равен $a$. Так как $a$ находится правее $-1$, более строгим является условие $x \ge a$. В этом случае решением будет промежуток $[a; +\infty)$, что не соответствует требуемому $(-1; +\infty)$.
• Если $a = -1$, система выглядит так: $ \begin{cases} x > -1, \\ x \ge -1 \end{cases} $. Пересечением этих условий является более строгое неравенство $x > -1$, то есть промежуток $(-1; +\infty)$. Это соответствует требованию задачи.
• Если $a < -1$, то любое число $x$, которое больше $-1$, автоматически будет больше и $a$. Таким образом, второе неравенство $x \ge a$ становится избыточным, и решением системы является решение первого неравенства, то есть $(-1; +\infty)$. Это также соответствует требованию задачи.

Объединяя два последних случая, получаем, что для выполнения условия задачи необходимо, чтобы $a$ было меньше или равно $-1$.
Ответ: $a \le -1$.

2) При каких значениях a множеством решений является промежуток $[1; +\infty)$?

Теперь нам необходимо найти такие значения $a$, при которых пересечение множеств $(-1; +\infty)$ и $[a; +\infty)$ будет равно $[1; +\infty)$.

Итоговый промежуток $[1; +\infty)$ является замкнутым слева (включает число 1). Такая замкнутая граница может появиться только из-за неравенства $x \ge a$, так как неравенство $x > -1$ дает открытую границу.

Как мы установили в первом пункте, если $a \le -1$, то решением системы будет $(-1; +\infty)$, что нам не подходит. Следовательно, мы должны рассматривать случай, когда $a > -1$. В этом случае, как мы уже выяснили, решением системы является промежуток $[a; +\infty)$.

Чтобы это решение совпадало с требуемым промежутком $[1; +\infty)$, необходимо выполнение равенства: $ [a; +\infty) = [1; +\infty) $ Данное равенство множеств выполняется тогда и только тогда, когда их начальные точки совпадают, то есть $a = 1$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $a=1$ нашему предположению $a > -1$. Да, $1 > -1$, поэтому условие выполняется.
Ответ: $a = 1$.