Номер 202, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

202. Одна сторона треугольника равна 4 см, а сумма двух других – 8 см. Найдите неизвестные стороны треугольника, если длина каждой из них равна целому числу сантиметров.

Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$.

Согласно условию задачи, одна из сторон равна 4 см. Пусть $a = 4$ см.

Сумма двух других сторон, $b$ и $c$, равна 8 см. Следовательно, $b + c = 8$.

Также дано, что длины сторон $b$ и $c$ являются целыми числами в сантиметрах.

Для того чтобы треугольник с заданными сторонами мог существовать, должно выполняться неравенство треугольника. Это означает, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть строго больше длины третьей стороны. Запишем систему неравенств:

$a + b > c$
$a + c > b$
$b + c > a$

Подставим известные значения в эти неравенства.

Начнем с третьего неравенства: $b + c > a$.
Поскольку $b + c = 8$ и $a = 4$, получаем $8 > 4$. Это неравенство всегда верно.

Теперь рассмотрим первые два неравенства. Из соотношения $b + c = 8$ выразим одну переменную через другую, например, $c = 8 - b$.

Подставим $a=4$ и $c = 8 - b$ в первое неравенство:
$a + b > c$
$4 + b > 8 - b$
$2b > 4$
$b > 2$

Теперь подставим те же значения во второе неравенство:
$a + c > b$
$4 + (8 - b) > b$
$12 - b > b$
$12 > 2b$
$6 > b$

Таким образом, мы получили, что длина стороны $b$ должна удовлетворять двойному неравенству $2 < b < 6$.

Так как по условию $b$ — это целое число, то возможными значениями для $b$ могут быть 3, 4 и 5.

Рассмотрим каждый из этих вариантов:

• Если $b = 3$ см, то $c = 8 - 3 = 5$ см. Получаем стороны 4 см, 3 см и 5 см. Все неравенства треугольника выполняются ($4+3>5$, $4+5>3$, $3+5>4$). Этот вариант подходит.
• Если $b = 4$ см, то $c = 8 - 4 = 4$ см. Получаем стороны 4 см, 4 см и 4 см (равносторонний треугольник). Неравенство $4+4>4$ выполняется. Этот вариант подходит.
• Если $b = 5$ см, то $c = 8 - 5 = 3$ см. Этот вариант дает тот же набор сторон, что и первый: 4 см, 5 см и 3 см.

Следовательно, существует два возможных набора длин для двух неизвестных сторон.

Ответ: Неизвестные стороны треугольника равны 3 см и 5 см, или 4 см и 4 см.